מושג המספר התרחב שוב ושוב, בכל פעם כדי לאפשר פתרון לבעיה שהמערכת הקודמת לא ידעה לפתור:

• טבעיים $\mathbb{N}$ — לספירה: $1,2,3,\dots$
• שלמים $\mathbb{Z}$ — הוספת 0 ושליליים, כדי שלמשוואה x+5=2 יהיה פתרון
• רציונליים $\mathbb{Q}$ — הוספת שברים, כדי שלמשוואה 2x=1 יהיה פתרון
• ממשיים $\mathbb{R}$ — הוספת אי-רציונליים כמו $\sqrt{2}$ ו-$\pi$

ועדיין נשארה משוואה פשוטה ללא פתרון: $x^2=-1$. אין מספר ממשי שריבועו שלילי, כי ריבוע של כל ממשי הוא $\ge 0$. כדי "לסגור" גם את הפער הזה, במאה ה-16 הומצא מספר חדש — וכך נולדו המספרים המרוכבים $\mathbb{C}$.

מגדירים מספר חדש, היחידה המדומה i, על ידי התכונה היסודית: $i^2=-1⟺i=\sqrt{-1}$

מספר מצורה z=a+bi, כאשר a,b ממשיים, נקרא מספר מרוכב:

• $a=\mathrm{Re}(z)$ הוא החלק הממשי
• $b=\mathrm{Im}(z)$ הוא החלק המדומה (שימו לב: b עצמו ממשי — זהו המקדם של i, לא bi)

מקרים מיוחדים: אם b=0 המספר ממשי (z=a); אם a=0 (ו-$b\ne 0$) המספר נקרא מדומה טהור (z=bi). מכאן שכל ממשי הוא מרוכב — לכן $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.