מספרים מרוכבים: הגדרה, פעולות וההצגה הגאומטרית

יחידה זו פותחת את עולם המספרים המרוכבים — הרחבה אחרונה ומרתקת של מערכת המספרים. נצא ממסע היסטורי קצר (טבעיים → שלמים → רציונליים → ממשיים → מרוכבים) ונגדיר את היחידה המדומה i המקיימת $i^{2}=-1$ ואת המספר המרוכב בצורה $a+bi$. נלמד את ארבע פעולות החשבון — חיבור, חיסור, כפל וחילוק (כפל בצמוד) — ונראה שהמספרים המרוכבים יוצרים מבנה הנקרא שדה, עם חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג. נדגיש דגש עקרוני: במספרים המרוכבים אין יחס סדר — אי אפשר לומר שמספר מרוכב אחד "גדול" מהשני (אך כן אפשר להשוות את ערכיהם המוחלטים, שהם ממשיים). לאחר מכן נציג את המספר המרוכב כנקודה במישור גאוס, נגדיר ערך מוחלט |z| כמרחק מהראשית ומספר צמוד z̄ כשיקוף בציר הממשי, ונחשב מרחק בין שתי נקודות כ-$|z_{1}-z_{2}|$, תוך קישור חיבור וחיסור לחיבור וחיסור וקטורים. לסיום נמצא שורש (ריבועי) של מספר מרוכב ונפתור משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים — שלפי המבחין יש לה שני פתרונות ממשיים או שני פתרונות מרוכבים הצמודים זה לזה.