למשוואה $a{x}^2+bx+c=0$ (מקדמים ממשיים, $a\ne 0$) נוסחת השורשים היא $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a},\Delta =b^2-4ac$

מעל המרוכבים, גם כש-$\Delta <0$ השורש קיים: $\sqrt{\Delta }=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{|\Delta |}=i\sqrt{|\Delta |}$. לכן:

• $\Delta >0$: שני פתרונות ממשיים שונים.
• $\Delta =0$: פתרון ממשי כפול $x=-\frac{b}{2a}$.
• $\Delta <0$: שני פתרונות מרוכבים צמודים $\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}i$.

זהו דגש מרכזי: לכל משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים יש שני פתרונות — ממשיים, או מרוכבים הצמודים זה לזה.

"שורש של המספר המרוכב w" הוא מספר z המקיים $z^2=w$. כדי למצוא z=a+bi כך ש-$z^2=p+qi$:

מפתחים $z^2=(a^2-b^2)+2abi$ ומשווים חלקים: $a^2-b^2=p,2ab=q$

פותרים את המערכת עבור a,b ממשיים. לכל מספר מרוכב (שונה מאפס) יש שני שורשים ריבועיים, נגדיים זה לזה (z ו--z) — בדיוק כמו ש-9 בעל השורשים 3 ו--3.

למשוואה מתוקנת $x^2+bx+c=0$ (מקדם מוביל 1) מתקיים: $x_1+x_2=-b,x_1\cdot x_2=c$

אם נתון פתרון מרוכב z והמקדמים ממשיים, הפתרון השני הוא הצמוד $\bar{z}$. אז: $x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z}=0$

שימו לב: $z+\bar{z}$ ו-$z\bar{z}$ תמיד ממשיים, ולכן המקדמים יוצאים ממשיים — בדיוק כנדרש.