פעולות החשבון ותכונות השדה (ללא יחס סדר)

מבוא

מטרות השיעור

לחבר ולחסר מספרים מרוכבים (חלק ממשי בנפרד, חלק מדומה בנפרד)
לכפול מספרים מרוכבים בעזרת חוק הפילוג והצבת $i^{2} = - 1$
לחלק מספרים מרוכבים על ידי הכפלה בצמוד של המכנה
להכיר את אקסיומות השדה: חילוף, קיבוץ, פילוג, איבר נייטרלי ונגדי/הופכי
להבין דגש עקרוני: במספרים המרוכבים אין יחס סדר

הרעיון המרכזי

ארבע הפעולות

יהיו $z_{1} = a + bi$ ו- $z_{2} = c + d i$ .

חיבור וחיסור — איבר-איבר: $z_{1} \pm z_{2} = (a \pm c) + (b \pm d) i$

כפל — פותחים סוגריים ומציבים $i^{2} = - 1$ : $z_{1} z_{2} = (a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$

חילוק — מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה כדי לקבל מכנה ממשי: $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{a + bi}{c + d i} \cdot \frac{c - d i}{c - d i} = \frac{( a c + b d ) + ( b c - a d ) i}{c ^{2} + d ^{2}}$

המכנה $(c + d i) (c - d i) = c^{2} + d^{2}$ הוא תמיד ממשי ואי-שלילי — זהו הטריק שמאפשר חילוק.

מבנה השדה — ℂ מתנהג כמו ℝ (כמעט)

המספרים המרוכבים עם החיבור והכפל מקיימים את כל אקסיומות השדה, בדיוק כמו הממשיים:

חילוף (קומוטטיביות): $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$ וגם $z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$
קיבוץ (אסוציאטיביות): $(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})$ (וכן בכפל)
פילוג (דיסטריביוטיביות): $z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$
איברים נייטרליים: 0 לחיבור, 1 לכפל
איבר נגדי לכל z ואיבר הופכי לכל $z \neq = 0$

ההבדל היחיד והמהותי: ב- $R$ יש יחס סדר ( $\leq$ ) — ב- $C$ אין.

מדוע אין יחס סדר ב-ℂ?

נניח בשלילה שקיים ב- $C$ יחס סדר "טוב" (כזה שמתיישב עם החיבור והכפל, כמו ב- $R$ ). אז בהכרח i>0 או i<0.

אם i>0: כפל באי-שוויון חיובי שומר על הכיוון, ולכן $i \cdot i > 0$ , כלומר $i^{2} = - 1 > 0$ — סתירה.
אם i<0: אז -i>0, ולכן (-i)(-i)>0, כלומר שוב $i^{2} = - 1 > 0$ — סתירה.

המסקנה: לא ניתן להגדיר יחס סדר על $C$ . לכן אסור לכתוב $z_{1} < z_{2}$ בין מרוכבים. כן מותר להשוות ערכים מוחלטים $∣ z_{1} ∣$ ו- $∣ z_{2} ∣$ , כי אלו מספרים ממשיים (נלמד בשיעור הבא).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיבור וחיסור

חשבו $(3 + 2i) + (4 - 5i)$ ואת $(3 + 2i) - (4 - 5i)$ .

(3 + 2 i) + (4 - 5 i) = 7 - 3 i, (3 + 2 i) - (4 - 5 i) = - 1 + 7 i

שלב 1 — חיבור איבר-איבר

(3+4) + (2+(-5))i = 7 - 3i

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: במספרים המרוכבים אפשר לטעון שהמספר $3 + 2i$ גדול מהמספר $1 + i$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: כפל עם הצבת i²=−1

חשבו $(2 + 3i)(1 - i)$ .

(2 + 3 i) (1 - i) = 2 - 2 i + 3 i - 3 i^{2} = 5 + i

שלב 1 — פותחים סוגריים (פילוג)

2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^{2}

תשובה מספרית

חשבו את המכפלה $(2 + 3i)(1 - i)$ . מהו החלק הממשי של התוצאה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חילוק על ידי כפל בצמוד

חשבו $\frac{4 + 2i}{1 - i}$ .

\frac{4 + 2 i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{2 + 6 i}{2} = 1 + 3 i

הכפל בצמוד הוא ה"טריק" שהופך את המכנה לממשי — בדיוק כמו הכפלת מכנה אי-רציונלי בצמודו.

שלב 1 — מכפילים בצמוד של המכנה

הצמוד של

1-i

הוא

1+i

. כופלים מונה ומכנה ב-

(1+i)

דוגמה 4: מתי מכפלה היא מספר ממשי?

מצאו ממשי x שעבורו $(x + 2i)(3 - i)$ הוא מספר ממשי.

(x + 2 i) (3 - i) = 3 x + 2 + (6 - x) i \Rightarrow 6 - x = 0 \Rightarrow x = 6

שלב 1 — פותחים סוגריים

3x - xi + 6i - 2i^{2} = 3x + 2 + (6 - x)i

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מצאו את הערך הממשי של x שעבורו המכפלה $(x + 2i)(3 - i)$ היא מספר ממשי.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להציב $i^{2}=-1$ בכפל

טעות: $(2 + 3 i) (1 - i) = 2 - 2 i + 3 i - 3 i^{2} = 2 + i - 3 i^{2}$ ומשאירים $i^{2}$ .

נכון: $- 3 i^{2} = + 3$ , ולכן התוצאה 5+i.

למה זה קורה?

מתייחסים ל-

i^{2}

כאל משתנה רגיל, או הופכים אותו בטעות ל-

+1

איך מתקנים?

בכל כפל, אחרי פתיחת הסוגריים, החליפו מיד כל

i^{2}

ב-

(-1)

. שימו לב לסימן:

-3i^{2}

הופך ל-

+3

תשובה קצרה

חשבו את המנה $\frac{4 + 2i}{1 - i}$ ורשמו את התוצאה בצורה $a+bi. ($ רמז: הכפילו מונה ומכנה בצמוד של המכנה.)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מנסים להשוות מרוכבים ביחס סדר

טעות: 3+2i>1+i.

נכון: הביטוי חסר משמעות; אפשר לכתוב |3+2i|>|1+i| (כי $13 > 2$ ).

למה זה קורה?

מרגישים שאם

3+2i '

גדול במספרים' מ-

1+i

, אפשר לכתוב אי-שוויון.

איך מתקנים?

ב-ℂ אין יחס סדר — אסור לכתוב

z_{1}<z_{2}

. אפשר להשוות רק ערכים מוחלטים

|z_{1}|,|z_{2}| (

מספרים ממשיים).

טעות נפוצה: מחלקים 'איבר באיבר'

טעות: $\frac{4 + 2 i}{1 - i} = \frac{4}{1} + \frac{2}{- 1} i = 4 - 2 i$ .

נכון: מכפילים בצמוד: $\frac{4 + 2 i}{1 - i} = 1 + 3 i$ .

למה זה קורה?

מחיקים את דרך החיבור (איבר-איבר) על החילוק.

איך מתקנים?

חילוק נעשה רק על ידי הכפלה בצמוד של המכנה. אין כלל 'מחלקים ממשי בממשי ומדומה במדומה'.

סיכום

מה למדנו?

פעולות החשבון ותכונות השדה:

חיבור/חיסור — איבר-איבר: $(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i$ .
כפל — פילוג + הצבת $i^{2} = - 1$ .
חילוק — הכפלה בצמוד של המכנה: המכנה $c^{2} + d^{2}$ תמיד ממשי.
$C$ הוא שדה: חילוף, קיבוץ, פילוג, איברים נייטרליים, נגדי והופכי.
אין יחס סדר ב- $C$ — אסור $z_{1} < z_{2}$ ; מותר להשוות ערכים מוחלטים.

בשיעור הבא נצייר את המספרים המרוכבים במישור גאוס, נחשב ערך מוחלט |z| ומספר צמוד $\overset{z}{ˉ}$ , ונקשר חיבור וחיסור לוקטורים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ארבע הפעולות, חילוק בעזרת הצמוד והבנת מבנה השדה!

פעולות החשבון ותכונות השדה (ללא יחס סדר)

פעולות החשבון ותכונות השדה (ללא יחס סדר)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיבור וחיסור

חשבו (3+2i)+(4−5i)(3 + 2i) + (4 - 5i)(3+2i)+(4−5i) ואת (3+2i)−(4−5i)(3 + 2i) - (4 - 5i)(3+2i)−(4−5i).

דוגמה 2: כפל עם הצבת i²=−1

חשבו (2+3i)(1−i)(2 + 3i)(1 - i)(2+3i)(1−i).

דוגמה 3: חילוק על ידי כפל בצמוד

חשבו 4+2i1−i\frac{4 + 2i}{1 - i}1−i4+2i​.

דוגמה 4: מתי מכפלה היא מספר ממשי?

מצאו ממשי x שעבורו (x+2i)(3−i)(x + 2i)(3 - i)(x+2i)(3−i) הוא מספר ממשי.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להציב i2=−1i^{2}=-1i2=−1 בכפל

טעות נפוצה: מנסים להשוות מרוכבים ביחס סדר

טעות נפוצה: מחלקים 'איבר באיבר'

סיכום

תרגול נוסף

חשבו $(3 + 2i) + (4 - 5i)$ ואת $(3 + 2i) - (4 - 5i)$ .

חשבו $(2 + 3i)(1 - i)$ .

חשבו $\frac{4 + 2i}{1 - i}$ .

מצאו ממשי x שעבורו $(x + 2i)(3 - i)$ הוא מספר ממשי.

טעות נפוצה: שוכחים להציב $i^{2}=-1$ בכפל