הצגה גרפית במישור גאוס, ערך מוחלט וצמוד

מבוא

מטרות השיעור

לייצג מספר מרוכב z=a+bi כנקודה (a,b) וווקטור במישור גאוס
לחשב ערך מוחלט $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ כמרחק מהראשית
להבין את הצמוד $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ כשיקוף בציר הממשי, ואת הקשר $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$
לחשב מרחק בין שתי נקודות: $∣ z_{1} - z_{2} ∣$
לקשר חיבור וחיסור מרוכבים לחיבור וחיסור וקטורים

הרעיון המרכזי

מישור גאוס — נותנים למספר 'כתובת'

את המספר המרוכב z=a+bi מציירים כנקודה במישור, שבו:

הציר האופקי הוא הציר הממשי (ערכי a)
הציר האנכי הוא הציר המדומה (ערכי b)

הנקודה (a,b) מייצגת את z. אפשר גם לראות את z כווקטור מהראשית אל הנקודה. מישור זה נקרא מישור גאוס (או המישור המרוכב).

ערך מוחלט וצמוד

הערך המוחלט (מודולוס) של z=a+bi הוא המרחק מהראשית — אורך הווקטור: $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} (\geq 0)$

זוהי בדיוק היפותנוזה במשולש ישר-זווית עם ניצבים |a| ו-|b| (פיתגורס).

הצמוד של z=a+bi הוא $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ — היפוך סימן החלק המדומה בלבד, כלומר שיקוף בציר הממשי. תכונות מרכזיות: $∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ z ∣, z + \overset{z}{ˉ} = 2 a (ממשי), z \cdot \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$

מרחק בין נקודות וחיבור כווקטורים

מרחק בין שתי נקודות $z_{1}, z_{2}$ במישור גאוס הוא הערך המוחלט של ההפרש: $d (z_{1}, z_{2}) = ∣ z_{1} - z_{2} ∣$

זה תואם בדיוק לנוסחת המרחק האנליטית $(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$ .

חיבור כווקטורים: הסכום $z_{1} + z_{2}$ מתקבל בכלל המקבילית — בדיוק כמו חיבור וקטורים. ההפרש $z_{1} - z_{2}$ הוא הווקטור המוביל מהנקודה $z_{2}$ אל $z_{1}$ ; אורכו הוא המרחק $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ . כך המספרים המרוכבים מתחברים ישירות לגאומטריה אנליטית ולווקטורים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ערך מוחלט

חשבו את |z| עבור $z = 3 + 4i$ ועבור $z = -5 + 12i$ .

∣3 + 4 i ∣ = 5, ∣ - 5 + 12 i ∣ = 25 + 144 = 13

שלב 1 — הנוסחה

|a+bi| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} (

פיתגורס: מרחק מהראשית).

דוגמה 2: צמוד ומכפלה z·z̄

עבור $z = 2 + 3i$ , מצאו את z̄ ואת $z \cdot z̄$ .

z \overset{z}{ˉ} = (2 + 3 i) (2 - 3 i) = 4 - 9 i^{2} = 13 = ∣ z ∣^{2}

שלב 1 — הצמוד

z̄ = 2 - 3i (

היפוך סימן החלק המדומה בלבד).

תשובה מספרית

חשבו את הערך המוחלט |z| של המספר $z = -5 + 12i$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את הערך המוחלט |z| של המספר $z = 3 + 4i$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מרחק בין שתי נקודות

מצאו את המרחק בין $z_{1} = 1 + 2i$ ל- $z_{2} = 4 + 6i$ במישור גאוס.

∣ z_{1} - z_{2} ∣ = ∣ - 3 - 4 i ∣ = 9 + 16 = 5

שלב 1 — מחשבים את ההפרש

z_{1} - z_{2} = (1-4) + (2-6)i = -3 - 4i

תשובה מספרית

נתונות הנקודות $z_{1} = 1 + 2i$ ו- $z_{2} = 4 + 6i$ במישור גאוס. חשבו את המרחק ביניהן $, |z_{1} - z_{2}|$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת רכיב מתוך הערך המוחלט

נתון $z = a + 4i$ עם $a > 0$ ו- $|z| = 5$ . מצאו את a.

a^{2} + 16 = 5 \Rightarrow a^{2} = 9 a > 0 a = 3

שלב 1 — כותבים את משוואת המודולוס

|z| = \sqrt{a^{2}+16} = 5

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון מספר מרוכב $z = a + 4i$ , כאשר $a > 0$ , וידוע ש- $|z| = 5$ . מהו הערך של a?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים |z| כסכום החלקים

טעות: |3+4i|=3+4=7.

נכון: $∣3 + 4 i ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

למה זה קורה?

חושבים שהערך המוחלט מחבר את a ואת b ישירות.

איך מתקנים?

הערך המוחלט הוא מרחק (פיתגורס)

: |a+bi| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

, לא

a+b

ולא

√a+√b

טעות נפוצה: מבלבלים בין הצמוד לנגדי

טעות: הצמוד של 3+5i הוא -3-5i.

נכון: הצמוד הוא 3-5i; הנגדי הוא -3-5i.

למה זה קורה?

גם הצמוד וגם הנגדי 'הופכים סימן' — קל להתבלבל איזה סימן.

איך מתקנים?

הצמוד z̄ הופך רק את החלק המדומה

(a-bi)

. הנגדי −z הופך את שניהם

(-a-bi)

טעות נפוצה: חושבים ש- $|z_{1}+z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ תמיד

דוגמה נגדית: $z_{1} = 3, z_{2} = 4 i$ : $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = ∣3 + 4 i ∣ = 5$ , אבל $∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣ = 3 + 4 = 7$ . אכן 5<7.

למה זה קורה?

גוררים את תכונת הערך המוחלט של מספרים אי-שליליים.

איך מתקנים?

זהו אי-שוויון המשולש:

|z_{1}+z_{2}| \le |z_{1}| + |z_{2}|

. שוויון מתקיים רק כשהווקטורים באותו כיוון.

סיכום

מה למדנו?

מישור גאוס, ערך מוחלט וצמוד:

z=a+bi מצויר כנקודה (a,b) וכווקטור מהראשית.
ערך מוחלט: $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ — מרחק מהראשית (פיתגורס).
צמוד: $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ — שיקוף בציר הממשי; $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ ו- $∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ z ∣$ .
מרחק בין נקודות: $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ .
חיבור/חיסור מרוכבים = חיבור/חיסור וקטורים (כלל המקבילית; ההפרש הוא הווקטור בין הנקודות).

בשיעור הבא נמצא שורש של מספר מרוכב ונפתור משוואה ריבועית — ונגלה מתי הפתרונות ממשיים ומתי מרוכבים צמודים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ערך מוחלט, צמוד, מרחק במישור גאוס והקשר לוקטורים!

הצגה גרפית במישור גאוס, ערך מוחלט וצמוד

הצגה גרפית במישור גאוס, ערך מוחלט וצמוד

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ערך מוחלט

חשבו את |z| עבור z=3+4iz = 3 + 4iz=3+4i ועבור z=−5+12iz = -5 + 12iz=−5+12i.

דוגמה 2: צמוד ומכפלה z·z̄

עבור z=2+3iz = 2 + 3iz=2+3i, מצאו את z̄ ואת z⋅zˉz \cdot z̄z⋅zˉ.

דוגמה 3: מרחק בין שתי נקודות

מצאו את המרחק בין z1=1+2iz_{1} = 1 + 2iz1​=1+2i ל-z2=4+6iz_{2} = 4 + 6iz2​=4+6i במישור גאוס.

דוגמה 4: מציאת רכיב מתוך הערך המוחלט

נתון z=a+4iz = a + 4iz=a+4i עם a>0a > 0a>0 ו-∣z∣=5|z| = 5∣z∣=5. מצאו את a.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים |z| כסכום החלקים

טעות נפוצה: מבלבלים בין הצמוד לנגדי

טעות נפוצה: חושבים ש-∣z1+z2∣=∣z1∣+∣z2∣|z_{1}+z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|∣z1​+z2​∣=∣z1​∣+∣z2​∣ תמיד

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את |z| עבור $z = 3 + 4i$ ועבור $z = -5 + 12i$ .

עבור $z = 2 + 3i$ , מצאו את z̄ ואת $z \cdot z̄$ .

מצאו את המרחק בין $z_{1} = 1 + 2i$ ל- $z_{2} = 4 + 6i$ במישור גאוס.

נתון $z = a + 4i$ עם $a > 0$ ו- $|z| = 5$ . מצאו את a.

טעות נפוצה: חושבים ש- $|z_{1}+z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ תמיד