לכל מספר טבעי n ולכל $r\ge 0$ וזווית $\theta$ מתקיים: $(r(\cos \theta +i\sin \theta ){)}^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))$

במילים: בהעלאה בחזקה מעלים את הרדיוס בחזקת n ומכפילים את הזווית ב-n. גאומטרית, כל הכפלה ב-z מסובבת בזווית $\theta$ ומותחת פי r, ולכן n הכפלות מסובבות ב-$n\theta$ ומותחות פי $r^n$.

בתוכנית 5 יחידות ההוכחה היא לב העניין. נוכיח את המשפט באינדוקציה מתמטית על n. נסמן $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$.

בסיס (n=1): $z^1=r^1(\cos (1\cdot \theta )+i\sin (1\cdot \theta ))$ — מתקיים באופן מיידי.

הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור n=k, כלומר $z^k=r^k(\cos (k\theta )+i\sin (k\theta ))$

צעד האינדוקציה (n=k+1): נכתוב את החזקה ה-(k+1) כמכפלה ונציב את ההנחה: $z^{k+1}=z^k\cdot z=r^k(\cos k\theta +i\sin k\theta )\cdot r(\cos \theta +i\sin \theta )$

נפעיל את כלל הכפל הקוטבי (כפל רדיוסים, חיבור זוויות): $=r^k\cdot r(\cos (k\theta +\theta )+i\sin (k\theta +\theta ))=r^{k+1}(\cos ((k+1)\theta )+i\sin ((k+1)\theta ))$

קיבלנו בדיוק את הטענה עבור n=k+1. מסקנה: לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, הטענה נכונה לכל n טבעי. מ.ש.ל.

הצעד שלמעלה השתמש בכך ש-$(\cos k\theta +i\sin k\theta )(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos (k\theta +\theta )+i\sin (k\theta +\theta )$. זהו בדיוק כלל הכפל שהוכחנו בשיעור הקודם בעזרת זהויות הסכום: $\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos (A+B),\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin (A+B)$ לכן ההוכחה באינדוקציה אינה "קסם" — היא מסתמכת על תכונה שכבר ביססנו.