מקומות גאומטריים באמצעות מספרים מרוכבים

מבוא

מטרות השיעור

להבין ש-|z-a| הוא המרחק בין הנקודות z ו-a במישור גאוס
לזהות שלושה מקומות גאומטריים: מעגל |z-a|=R, אנך אמצעי |z-a|=|z-b|, מעגל אפולוניוס |z-a|=m|z-b|
לתרגם בין משוואה מרוכבת למשוואה בקואורדינטות (x,y)
להוכיח מקום גאומטרי בשרשרת שקילויות אלגברית (שני הכיוונים יחד)
לקשר את התמונה המרוכבת לגאומטריה אנליטית ולוקטורים

הרעיון המרכזי

המרחק במישור גאוס

אם z=x+yi ו-a=p+qi, אז z-a=(x-p)+(y-q)i ולכן $∣ z - a ∣ = (x - p)^{2} + (y - q)^{2}$

זוהי בדיוק נוסחת המרחק בין הנקודות (x,y) ו-(p,q). כל המקומות הגאומטריים ביחידה זו מנוסחים כתנאי מרחק. שגיאה נפוצה: $∣ z - a ∣ \neq = ∣ z ∣ - ∣ a ∣$ .

שלושה מקומות גאומטריים מרכזיים

מעגל: |z-a|=R — כל הנקודות במרחק קבוע R מן הנקודה a. מרכז a, רדיוס R.
אנך אמצעי: |z-a|=|z-b| — כל הנקודות השוות-מרחק מ-a ומ-b. זהו האנך האמצעי לקטע ab.
מעגל אפולוניוס: |z-a|=m|z-b| עם $m > 0, m \neq = 1$ — יחס מרחקים קבוע. זהו מעגל (לא ישר!). רק כאשר m=1 מתקבל אנך אמצעי.

יתרון ההוכחה האנליטית: שרשרת שקילויות

כדי להוכיח שצורה מסוימת היא מקום גאומטרי, נדרש להוכיח שני כיוונים: שכל נקודה על הצורה מקיימת את התנאי, ולהפך. הגאומטריה האנליטית מאפשרת להוכיח את שניהם בבת אחת, באמצעות שרשרת של שקילויות ( $\Leftrightarrow$ ): מציבים z=x+yi, כותבים את תנאי המרחק, מעלים בריבוע (מעבר שקול עבור גדלים אי-שליליים), פותחים ומצמצמים — וכל מעבר הוא "אם ורק אם". הקישור לוקטורים: z-a הוא הווקטור מ-a ל-z, ו-|z-a| אורכו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מעגל

תארו את המקום הגאומטרי $|z - (2+3i)| = 5$ .

∣ z - (2 + 3 i) ∣ = 5 ⟺ (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25

שלב 1 — זיהוי התבנית

זו הצורה

|z-a|=R

עם

a=2+3i

ו-

R=5

דוגמה 2: אנך אמצעי

הוכיחו ש- $|z - 2| = |z + 2|$ הוא ציר ה-y.

∣ z - 2∣ = ∣ z + 2∣ ⟺ x = 0

זהו האנך האמצעי לקטע שבין (2,0) ל-(-2,0).

שלב 1 — מציבים

z=x+yi

. שתי הנקודות הן

(2,0)

ו-

(-2,0)

דוגמה 3: מעגל אפולוניוס

זהו את המקום הגאומטרי $|z| = 2 \cdot |z - 3|$ .

∣ z ∣ = 2∣ z - 3∣ ⟺ (x - 4)^{2} + y^{2} = 4

יחס מרחקים $m = 2 \neq = 1$ נותן מעגל, לא ישר.

שלב 1 — מציבים בריבוע

x^{2}+y^{2} = 4 \cdot ((x-3)^{2}+y^{2})

דוגמה 4: קישור לגאומטריה אנליטית — אנך אמצעי משופע

הוכיחו בשרשרת שקילויות ש- $|z - 1| = |z - i|$ הוא הישר $y = x$ .

∣ z - 1∣ = ∣ z - i ∣ ⟺ y = x

כל מעבר הוא $\Leftrightarrow$ , ולכן הוכחנו את שני הכיוונים יחד. הישר y=x אכן ניצב לקטע שבין (1,0) ל-(0,1) ועובר דרך אמצעו (0.5,0.5).

שלב 1 — מציבים

z=x+yi

; הנקודות

(1,0)

ו-

(0,1)

בדיקה מהירה

איזה מקום גאומטרי במישור גאוס מתואר על ידי המשוואה $|z-a|=R$ , כאשר a מספר מרוכב קבוע ו- $R>0$ ממשי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתון המקום הגאומטרי $|z-(2+3i)|=5$ . מהם מרכז המעגל ורדיוסו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

המקום הגאומטרי $|z|=2 \cdot |z-3| ($ מעגל אפולוניוס) הוא מעגל. מהו רדיוסו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מפרשים $|z-a|$ כ-|z|−|a|

טעות: |z-3|=|z|-3.

נכון: $∣ z - 3∣ = (x - 3)^{2} + y^{2}$ .

למה זה קורה?

מחילים את הערך המוחלט על כל איבר בנפרד, כמו בפילוג.

איך מתקנים?

|z-a|

הוא המרחק בין הנקודות z ו-

a: \sqrt{(x-p}^{2}+(y-q)^{2})

. הערך המוחלט אינו 'מתפלג' על חיסור.

טעות נפוצה: חושבים ש- $|z-a|=m|z-b|$ תמיד ישר

|z|=2|z-3| אינו ישר אלא מעגל $(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ .

למה זה קורה?

מכלילים את האנך האמצעי גם למקרה

m \ne 1

איך מתקנים?

רק עבור

m=1

מתקבל אנך אמצעי (ישר). עבור

m \ne 1

מתקבל מעגל אפולוניוס.

טעות נפוצה: מרבעים ערך מוחלט באופן שגוי

טעות: $∣ z - 3 ∣^{2} = z^{2} - 9$ .

נכון: $∣ z - 3 ∣^{2} = (x - 3)^{2} + y^{2}$ .

למה זה קורה?

כותבים

|z-a|^{2}=z^{2}-a^{2}

במקום סכום ריבועי ההפרשים.

איך מתקנים?

|w|^{2}=w \cdot w̄

, ובקואורדינטות

|z-a|^{2}=(x-p)^{2}+(y-q)^{2}

. זה תמיד אי-שלילי.

סיכום

מה למדנו?

מקומות גאומטריים במספרים מרוכבים:

|z-a| הוא המרחק בין z ל-a במישור גאוס.
|z-a|=R — מעגל (מרכז a, רדיוס R).
|z-a|=|z-b| — אנך אמצעי לקטע ab.
|z-a|=m|z-b| ( $m \neq = 1$ ) — מעגל אפולוניוס.
מוכיחים מקום גאומטרי בשרשרת שקילויות: הצבה → שוויון מרחקים → ריבוע → צמצום.

זכרו: |z-a| הוא מרחק (לא |z|-|a|), ו- $m \neq = 1$ נותן מעגל.

בשיעור הבא נראה כיצד חיבור וכפל של מספרים מרוכבים מבצעים טרנספורמציות בגרפיקה ממוחשבת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי לזהות ולהוכיח מקומות גאומטריים באמצעות מספרים מרוכבים!

מקומות גאומטריים באמצעות מספרים מרוכבים

מקומות גאומטריים באמצעות מספרים מרוכבים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מעגל

תארו את המקום הגאומטרי ∣z−(2+3i)∣=5|z - (2+3i)| = 5∣z−(2+3i)∣=5.

דוגמה 2: אנך אמצעי

הוכיחו ש-∣z−2∣=∣z+2∣|z - 2| = |z + 2|∣z−2∣=∣z+2∣ הוא ציר ה-y.

דוגמה 3: מעגל אפולוניוס

זהו את המקום הגאומטרי ∣z∣=2⋅∣z−3∣|z| = 2 \cdot |z - 3|∣z∣=2⋅∣z−3∣.

דוגמה 4: קישור לגאומטריה אנליטית — אנך אמצעי משופע

הוכיחו בשרשרת שקילויות ש-∣z−1∣=∣z−i∣|z - 1| = |z - i|∣z−1∣=∣z−i∣ הוא הישר y=xy = xy=x.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מפרשים ∣z−a∣|z-a|∣z−a∣ כ-|z|−|a|

טעות נפוצה: חושבים ש-∣z−a∣=m∣z−b∣|z-a|=m|z-b|∣z−a∣=m∣z−b∣ תמיד ישר

טעות נפוצה: מרבעים ערך מוחלט באופן שגוי

סיכום

תרגול נוסף

תארו את המקום הגאומטרי $|z - (2+3i)| = 5$ .

הוכיחו ש- $|z - 2| = |z + 2|$ הוא ציר ה-y.

זהו את המקום הגאומטרי $|z| = 2 \cdot |z - 3|$ .

הוכיחו בשרשרת שקילויות ש- $|z - 1| = |z - i|$ הוא הישר $y = x$ .

טעות נפוצה: מפרשים $|z-a|$ כ-|z|−|a|

טעות נפוצה: חושבים ש- $|z-a|=m|z-b|$ תמיד ישר