הצגה קוטבית ומכפלה כסיבוב ומתיחה

מבוא

מטרות השיעור

להציג מספר מרוכב בצורה הקוטבית $z = r (cos θ + i sin θ)$
לעבור מן ההצגה האלגברית z=a+bi להצגה הקוטבית ולהפך
להבין שהרדיוס r=|z| הוא המרחק מן הראשית, והזווית $θ$ היא הארגומנט
לקבוע את $θ$ נכון לפי הרביע של הנקודה
לפרש את מכפלת שני מספרים מרוכבים כסיבוב ומתיחה

הרעיון המרכזי

ההצגה הקוטבית

כל נקודה במישור גאוס נקבעת על ידי שני נתונים: המרחק שלה מן הראשית והזווית שהיא יוצרת עם הכיוון החיובי של הציר הממשי. עבור z=a+bi מגדירים:

הרדיוס (הערך המוחלט): $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} \geq 0$
הארגומנט (הזווית): $θ$ המקיים $cos θ = \frac{a}{r}$ ו- $sin θ = \frac{b}{r}$

ההצגה הקוטבית היא אפוא: $z = r (cos θ + i sin θ)$

המעבר ההפוך פשוט: $a = r cos θ$ ו- $b = r sin θ$ .

חשוב: הרביע קובע את הזווית

הנוסחה $tan θ = \frac{b}{a}$ אינה מספיקה כשלעצמה, משום שלזווית ולזווית שהיא $18 0^{\circ}$ ממנה יש אותו טנגנס. לכן תמיד בודקים באיזה רביע נמצאת הנקודה לפי הסימנים של a ו-b, ומתאימים את זווית הייחוס לרביע. כך, למשל, ל-1+i ארגומנט $4 5^{\circ}$ , אך ל--1-i ארגומנט $22 5^{\circ}$ ולא $4 5^{\circ}$ .

מכפלה = סיבוב ומתיחה

נתונים $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ ו- $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ . נכפול ונשתמש בזהויות הסכום של הקוסינוס והסינוס:

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [(cos θ_{1} cos θ_{2} - sin θ_{1} sin θ_{2}) + i (sin θ_{1} cos θ_{2} + cos θ_{1} sin θ_{2})]

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2}))

כלומר מכפילים את הרדיוסים ומחברים את הזוויות. גאומטרית: כפל ב- $z_{2}$ מסובב את $z_{1}$ בזווית $θ_{2}$ (סיבוב) ומותח את אורכו פי $r_{2}$ (מתיחה). זהו הבסיס לכל היחידה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מהצגה אלגברית להצגה קוטבית

הציגו את $z = 1 + i$ בצורה קוטבית.

z = 2 (cos 4 5^{\circ} + i sin 4 5^{\circ})

שלב 1 — רדיוס

r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

דוגמה 2: רביע שלישי — לא לשכוח להתאים את הזווית

הציגו את $z = -2 - 2i$ בצורה קוטבית (זווית ב- $[0^{\circ},360^{\circ}))$ .

z = 22 (cos 22 5^{\circ} + i sin 22 5^{\circ})

שלב 1 — רדיוס

r = \sqrt{(-2}^{2} + (-2)^{2}) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

דוגמה 3: מהצגה קוטבית להצגה אלגברית

נתון $z = 2 \cdot (\cos 60^{\circ} + i \cdot \sin 60^{\circ})$ . מצאו את ההצגה האלגברית $a+bi$ .

z = 2 (\frac{1}{2} + i \frac{3}{2}) = 1 + i 3

שלב 1 — ערכים ידועים

\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2,} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

דוגמה 4: מכפלה כסיבוב ומתיחה

נתונים $z_{1} = 2 \cdot (\cos 20^{\circ} + i \cdot \sin 20^{\circ})$ ו- $z_{2} = 3 \cdot (\cos 40^{\circ} + i \cdot \sin 40^{\circ})$ . מצאו את $z_{1} \cdot z_{2}$ .

z_{1} z_{2} = (2 \cdot 3) (cos (2 0^{\circ} + 4 0^{\circ}) + i sin (2 0^{\circ} + 4 0^{\circ})) = 6 (cos 6 0^{\circ} + i sin 6 0^{\circ})

שלב 1 — כופלים רדיוסים

r = 2 \cdot 3 = 6 (

מתיחה פי 3 לאורך של

z_{1})

דוגמה 5: כפל שמוביל למספר ממשי

נתונים $z_{1} = \sqrt{2} \cdot (\cos 135^{\circ} + i \cdot \sin 135^{\circ})$ ו- $z_{2} = \sqrt{2} \cdot (\cos 45^{\circ} + i \cdot \sin 45^{\circ})$ . מצאו את $z_{1} \cdot z_{2}$ .

z_{1} z_{2} = 2 (cos 18 0^{\circ} + i sin 18 0^{\circ}) = - 2

הסיבוב ב- $18 0^{\circ}$ הביא את התוצאה אל הציר הממשי השלילי.

שלב 1 — רדיוסים

r = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2

בדיקה מהירה

מהי ההצגה הקוטבית של המספר המרוכב $z=1+i$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

המספר המרוכב נתון בהצגה קוטבית $z=2 \cdot (\cos 60^{\circ}+i \cdot \sin 60^{\circ})$ . מהי ההצגה האלגברית שלו $a+bi$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי ההצגה הקוטבית של $z=-2-2i ($ עם זווית בתחום $[0^{\circ},360^{\circ}))$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים $\arctan (\frac{b}{a})$ בלי לבדוק רביע

טעות: ל-z=-1-i נכתב $θ = 4 5^{\circ}$ .

נכון: הנקודה ברביע השלישי, ולכן $θ = 18 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 22 5^{\circ}$ .

למה זה קורה?

לזווית ולזווית שהיא

180^{\circ}

ממנה אותו טנגנס, כך שהמחשבון מחזיר לעיתים את הזווית מן הרביע ההפוך.

איך מתקנים?

קבעו תחילה את הרביע לפי הסימנים של a ו-b, ורק אז התאימו את זווית הייחוס.

טעות נפוצה: כותבים רדיוס שלילי

טעות: $z = - 2 (cos 4 5^{\circ} + i sin 4 5^{\circ})$ .

נכון: $z = 2 (cos 22 5^{\circ} + i sin 22 5^{\circ})$ — אותו מספר, עם r>0.

למה זה קורה?

מבלבלים בין הרדיוס לבין רכיב של המספר.

איך מתקנים?

הרדיוס

r=|z|

הוא מרחק ולכן תמיד אי-שלילי. את הכיוון קובעת הזווית בלבד.

טעות נפוצה: מחברים רדיוסים ומכפילים זוויות

טעות: $z_{1} z_{2}$ בעל רדיוס $r_{1} + r_{2}$ וזווית $θ_{1} θ_{2}$ .

נכון: רדיוס $r_{1} r_{2}$ וזווית $θ_{1} + θ_{2}$ .

למה זה קורה?

היפוך הכלל של הכפל הקוטבי.

איך מתקנים?

בכפל: מכפילים רדיוסים, מחברים זוויות. (בחילוק: מחלקים רדיוסים, מחסרים זוויות.)

סיכום

מה למדנו?

ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב:

$z = r (cos θ + i sin θ)$ , כאשר $r = a^{2} + b^{2}$ ו- $θ$ נקבע לפי הרביע.
מעבר חזרה: $a = r cos θ$ , $b = r sin θ$ .
כפל = סיבוב ומתיחה: $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2}))$ .

זכרו: הרדיוס אף פעם לא שלילי, והזווית תמיד מותאמת לרביע.

בשיעור הבא נשתמש בכלל הכפל הזה כדי להוכיח באינדוקציה את משפט דה-מואבר ולהעלות מספרים מרוכבים בחזקה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מעבר בין ההצגות וחישוב מכפלות כסיבוב ומתיחה!

הצגה קוטבית ומכפלה כסיבוב ומתיחה

הצגה קוטבית ומכפלה כסיבוב ומתיחה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מהצגה אלגברית להצגה קוטבית

הציגו את z=1+iz = 1 + iz=1+i בצורה קוטבית.

דוגמה 2: רביע שלישי — לא לשכוח להתאים את הזווית

הציגו את z=−2−2iz = -2 - 2iz=−2−2i בצורה קוטבית (זווית ב-[0∘,360∘))[0^{\circ},360^{\circ}))[0∘,360∘)).

דוגמה 3: מהצגה קוטבית להצגה אלגברית

נתון z=2⋅(cos⁡60∘+i⋅sin⁡60∘)z = 2 \cdot (\cos 60^{\circ} + i \cdot \sin 60^{\circ})z=2⋅(cos60∘+i⋅sin60∘). מצאו את ההצגה האלגברית a+bia+bia+bi.

דוגמה 4: מכפלה כסיבוב ומתיחה

דוגמה 5: כפל שמוביל למספר ממשי

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים arctan⁡(ba)\arctan (\frac{b}{a})arctan(ab​) בלי לבדוק רביע

טעות נפוצה: כותבים רדיוס שלילי

טעות נפוצה: מחברים רדיוסים ומכפילים זוויות

סיכום

תרגול נוסף

הציגו את $z = 1 + i$ בצורה קוטבית.

הציגו את $z = -2 - 2i$ בצורה קוטבית (זווית ב- $[0^{\circ},360^{\circ}))$ .

נתון $z = 2 \cdot (\cos 60^{\circ} + i \cdot \sin 60^{\circ})$ . מצאו את ההצגה האלגברית $a+bi$ .

טעות נפוצה: מחשבים $\arctan (\frac{b}{a})$ בלי לבדוק רביע