נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מבוא

מטרות השיעור

לדעת ולנמק את הנוסחה $(e^{x})^{'} = e^{x}$
לגזור פונקציות מורכבות $e^{f (x)}$ בעזרת כלל השרשרת: $(e^{f (x)})^{'} = f^{'} (x) e^{f (x)}$
לגזור פונקציה מעריכית בבסיס כללי: $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$
לדעת $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ולגזור $ln (f (x))$ : $(ln f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$
לשלב את הנגזרות הללו עם כללי המכפלה, המנה והשרשרת

הרעיון המרכזי

הנגזרות הבסיסיות

שתי נגזרות היסוד של היחידה: $(e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (x > 0)$

הפונקציה $e^{x}$ היא הפונקציה היחידה (עד כדי כפל בקבוע) שגוזרת את עצמה. זו הסיבה שבחרנו את e כבסיס הטבעי: שיפוע המשיק ל- $e^{x}$ בכל נקודה שווה לערך הפונקציה שם.

כלל השרשרת — הפונקציה הפנימית

כשהמעריך או הארגומנט הם ביטוי f(x) ולא x בלבד, מפעילים את כלל השרשרת ומכפילים בנגזרת הפנימית: $(e^{f (x)})^{'} = f^{'} (x) e^{f (x)}$ $(ln f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$

שכחת הגורם f'(x) היא הטעות הנפוצה ביותר בנושא הזה.

נגזרת בבסיס כללי — מדוע מופיע $\ln a$

לכל בסיס $a > 0, a \neq = 1$ : $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$

נימוק: כותבים $a = e^{l n a}$ , ולכן $a^{x} = e^{x l n a}$ . כעת גוזרים בכלל השרשרת (הפנימית היא $x ln a$ , ונגזרתה הקבוע $ln a$ ): $(a^{x})^{'} = (e^{x l n a})^{'} = ln a \cdot e^{x l n a} = a^{x} ln a$

רק עבור a=e מתקיים $ln e = 1$ , ואז $(e^{x})^{'} = e^{x}$ — ללא גורם נוסף.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירת e בחזקת ביטוי

גזרו את $f(x)=e^(x^{2})$ .

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}

שלב 1 — מזהים פונקציה מורכבת

החיצונית היא

e^{u}

והפנימית היא

u=x^{2}

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x)=e^{x}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x)=e^(x^{2})$ . חשבו את ערך הנגזרת $f'(1)$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. (e≈2.718)

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: גזירת לוגריתם של ביטוי

גזרו את $f(x)=\ln (x^{2}+1)$ .

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

שלב 1 — מזהים את הפנימית

הפנימית היא

f(x)=x^{2}+1 (

ארגומנט הלוגריתם).

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x)=\ln (x^{2}+1)$ . חשבו את ערך הנגזרת $f'(2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: גזירת מכפלה הכוללת eˣ

גזרו את $f(x)=x \cdot e^{x}$ וחשבו את $f'(0)$ .

(x e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x), f^{'} (0) = 1

שלב 1 — כלל המכפלה

(uv)'=u'v+uv'

עם

u=x, v=e^{x}

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x)=x \cdot e^{x}$ . חשבו את ערך הנגזרת $f'(0)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: גזירת בסיס כללי aˣ

גזרו את $f(x)=2^{x}$ .

(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2

זהו המקרה הכללי $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ ; רק ב-a=e נעלם הגורם.

שלב 1 — כותבים בבסיס e

2=e^(\ln 2)

, ולכן

2^{x}=e^(x \cdot \ln 2)

דוגמה 5: גזירת מנה עם e

גזרו את $f(x)=\frac{e^{x}}{x} ($ עבור $x \ne 0)$ .

(\frac{e ^{x}}{x})^{'} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}

שלב 1 — כלל המנה

(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}

עם

u=e^{x}, v=x

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מורידים את המעריך כמו בפונקציית חזקה

טעות: $(e^{x})^{'} = x e^{x - 1}$ .

נכון: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין

x^{n} (

בסיס משתנה, מעריך קבוע) לבין

e^{x} (

בסיס קבוע, מעריך משתנה).

איך מתקנים?

(e^{x})'=e^{x}

. כלל החזקה

(x^{n})'=n \cdot x^{n-1}

תקף רק כשהמעריך קבוע — לא כאן.

טעות נפוצה: שוכחים את כלל השרשרת ב- $e^(f(x))$ ו- $\ln (f(x))$

טעות: $(e^{3 x})^{'} = e^{3 x}$ .

נכון: הפנימית 3x נגזרת ל-3, ולכן $(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$ .

למה זה קורה?

גוזרים רק את ה'שכבה החיצונית' ושוכחים להכפיל בנגזרת הפנימית.

איך מתקנים?

תמיד מכפילים ב-

f'(x): (e^(f(x)))'=f'(x) \cdot e^(f(x))

ו-

(\ln f(x))'=f'\frac{x}{f(x)}

טעות נפוצה: שוכחים את הגורם $\ln a$ בבסיס כללי

טעות: $(2^{x})^{'} = 2^{x}$ .

נכון: $(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2$ .

למה זה קורה?

מכלילים בטעות את

(e^{x})'=e^{x}

לכל בסיס.

איך מתקנים?

(a^{x})'=a^{x} \cdot \ln a

. רק עבור

a=e

מתקיים

\ln e=1

והגורם נעלם.

טעות נפוצה: כותבים $(\ln x)' = \frac{1}{\ln x}$ או $\frac{\ln (x)}{x}$

טעות: $(ln x)^{'} = \frac{1}{l n x}$ .

נכון: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .

למה זה קורה?

מערבבים בין הפונקציה לנגזרתה.

איך מתקנים?

(\ln x)'=\frac{1}{x}

. נגזרת הלוגריתם היא פונקציה רציונלית פשוטה, לא לוגריתם.

סיכום

מה למדנו?

טבלת הנגזרות של היחידה:

$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$(e^{f (x)})^{'} = f^{'} (x) e^{f (x)}$
$(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(ln f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$

זכרו: תמיד לזהות פונקציה פנימית ולהכפיל בנגזרתה (כלל השרשרת), ולשלב עם כללי המכפלה והמנה לפי הצורך.

בשיעור הבא נשתמש בנגזרות הללו לחקירה מלאה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות!

נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירת e בחזקת ביטוי

גזרו את f(x)=e(x2)f(x)=e^(x^{2})f(x)=e(x2).

דוגמה 2: גזירת לוגריתם של ביטוי

גזרו את f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln (x^{2}+1)f(x)=ln(x2+1).

דוגמה 3: גזירת מכפלה הכוללת eˣ

גזרו את f(x)=x⋅exf(x)=x \cdot e^{x}f(x)=x⋅ex וחשבו את f′(0)f'(0)f′(0).

דוגמה 4: גזירת בסיס כללי aˣ

גזרו את f(x)=2xf(x)=2^{x}f(x)=2x.

דוגמה 5: גזירת מנה עם e

גזרו את f(x)=exx(f(x)=\frac{e^{x}}{x} (f(x)=xex​(עבור x≠0)x \ne 0)x=0).

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מורידים את המעריך כמו בפונקציית חזקה

טעות נפוצה: שוכחים את כלל השרשרת ב-e(f(x))e^(f(x))e(f(x)) ו-ln⁡(f(x))\ln (f(x))ln(f(x))

טעות נפוצה: שוכחים את הגורם ln⁡a\ln alna בבסיס כללי

טעות נפוצה: כותבים (ln⁡x)′=1ln⁡x(\ln x)' = \frac{1}{\ln x}(lnx)′=lnx1​ או ln⁡(x)x\frac{\ln (x)}{x}xln(x)​

סיכום

תרגול נוסף

גזרו את $f(x)=e^(x^{2})$ .

גזרו את $f(x)=\ln (x^{2}+1)$ .

גזרו את $f(x)=x \cdot e^{x}$ וחשבו את $f'(0)$ .

גזרו את $f(x)=2^{x}$ .

גזרו את $f(x)=\frac{e^{x}}{x} ($ עבור $x \ne 0)$ .

טעות נפוצה: שוכחים את כלל השרשרת ב- $e^(f(x))$ ו- $\ln (f(x))$

טעות נפוצה: שוכחים את הגורם $\ln a$ בבסיס כללי

טעות נפוצה: כותבים $(\ln x)' = \frac{1}{\ln x}$ או $\frac{\ln (x)}{x}$