פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: תכונות ותיאור גרפי

מבוא

מטרות השיעור

לתאר את התכונות של הפונקציה המעריכית $y = a^{x}$ : תחום, טווח, אסימפטוטה, נקודת חיתוך עם ציר y, ומגמת עלייה/ירידה לפי הבסיס
לקשר בין פונקציה מעריכית לסדרה הנדסית, בדומה לקשר בין פונקציה לינארית לסדרה חשבונית
להגדיר את הפונקציה הלוגריתמית $y = lo g_{a} x$ כפונקציה ההפוכה למעריכית
להבין שגרף פונקציה וגרף ההפוכה לה סימטריים ביחס לישר y=x, וכי תחום וטווח מתחלפים

הרעיון המרכזי

הפונקציה המעריכית $y=a^{x}$

פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה $f (x) = a^{x}$ , כאשר הבסיס מקיים $a > 0, a \neq = 1$ . תכונותיה:

תחום הגדרה: כל x ממשי.
טווח: y>0 בלבד (הערכים תמיד חיוביים).
חיתוך עם ציר y: הנקודה (0,1), כי $a^{0} = 1$ .
אין חיתוך עם ציר x: הישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית.
מגמה: אם a>1 הפונקציה עולה; אם 0<a<1 הפונקציה יורדת.

הקשר לסדרה הנדסית

כשם שפונקציה לינארית f(x)=mx+b "מותחת" סדרה חשבונית (הפרש קבוע), כך פונקציה מעריכית $f (x) = c \cdot a^{x}$ "מותחת" סדרה הנדסית (מנה קבועה). אם נציב ערכי x שלמים עוקבים, כל ערך מתקבל מקודמו בכפל קבוע ב-a — זהו בדיוק המנה q=a של הסדרה ההנדסית.

הפונקציה הלוגריתמית כהפוכה

מכיוון שהמעריכית $f (x) = a^{x}$ היא חד-חד-ערכית (מונוטונית), יש לה פונקציה הפוכה: הפונקציה הלוגריתמית $g (x) = lo g_{a} x$ . הקשר ההופכי מוגדר על ידי: $y = lo g_{a} x ⟺ a^{y} = x$

מכאן נובעות תכונות הלוגריתם בהיפוך לאלו של המעריכית:

תחום הגדרה: x>0 (היה הטווח של המעריכית).
טווח: כל y ממשי (היה התחום של המעריכית).
חיתוך עם ציר x: הנקודה (1,0), כי $lo g_{a} 1 = 0$ .
אסימפטוטה אנכית: הישר x=0 (ציר y).
סימטריה: הגרפים של $a^{x}$ ושל $lo g_{a} x$ סימטריים ביחס לישר y=x.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תכונות הגרף של y=3ˣ

תארו את התחום, הטווח, החיתוך עם הצירים והאסימפטוטה של $f(x)=3^{x}$ .

f (x) = 3^{x}, D_{f} = R, Range = (0, \infty), f (0) = 1

שלב 1 — תחום הגדרה

ניתן להעלות 3 בכל חזקה ממשית, ולכן התחום הוא כל x ממשי.

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה ומהו הטווח של הפונקציה המעריכית $f(x)=2^{x}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: פונקציה מעריכית יורדת

האם $f(x)=(\frac{1}{2})^{x}$ עולה או יורדת? תארו את הגרף.

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}, 0 < \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow יורדת

שלב 1 — בודקים את הבסיס

הבסיס הוא

a=\frac{1}{2}

ומקיים

0<\frac{1}{2}<1

, ולכן הפונקציה יורדת.

דוגמה 3: מעריכית וסדרה הנדסית

סדרה הנדסית: $a_{n}=5 \cdot 3^{n-1}$ . מצאו פונקציה מעריכית מתאימה וחשבו את $a_{3}$ .

a_{n} = 5 \cdot 3^{n - 1}, a_{3} = 5 \cdot 3^{2} = 45

שלב 1 — מזהים את המנה

כל איבר מתקבל מקודמו בכפל ב-3, ולכן המנה

q=3

. האיבר הראשון

a_{1}=5

דוגמה 4: לוגריתם כהפוכה — שיקוף סביב y=x

הגרף של $f(x)=2^{x}$ עובר ב- $(3,8)$ . דרך איזו נקודה עובר גרף ההפוכה $g(x)=\log _{2}x$ ?

(3, 8) על 2^{x} ⟺ (8, 3) על lo g_{2} x, lo g_{2} 8 = 3

שלב 1 — מהי פונקציה הפוכה

ההפוכה מתקבלת בהחלפת תפקידי x ו-y, כלומר בשיקוף סביב הישר

y=x

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

הפונקציה הלוגריתמית $g(x)=\log _{2}(x)$ היא ההפוכה של $f(x)=2^{x}$ . הגרף של f עובר בנקודה $(3, 8)$ . דרך איזו נקודה עובר הגרף של g? רשמו את שיעור ה-x של הנקודה על g שעבורה שיעור ה-y הוא 3.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בחירה מרובה

אילו מהטענות הבאות נכונות לגבי הפונקציה הלוגריתמית $g(x)=\log _{3}(x)? ($ סמנו את כל הנכונות.)

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

הגרפים של $f(x)=a^{x}$ ושל ההפוכה לה $g(x)=\log _{a}(x) ($ עבור $a>1)$ חותכים זה את זה. ביחס לאיזה ישר הם סימטריים? כתבו את משוואת הישר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שגרף $y=a^{x}$ חותך את ציר x

טעות: "כש-x מספיק שלילי, $2^{x} = 0$ ".

נכון: $2^{x} > 0$ לכל x; כאשר $x \to - \infty$ מתקיים $2^{x} \to 0$ בלי להגיע ל-0.

למה זה קורה?

מצפים שכל גרף יחתוך את שני הצירים, כמו פרבולה או ישר.

איך מתקנים?

המעריכית חיובית תמיד; ציר x הוא אסימפטוטה אופקית והגרף מתקרב אליו אך לעולם לא נוגע בו. הטווח הוא

y>0

טעות נפוצה: מבלבלים בין תחום המעריכית לתחום הלוגריתם

טעות: "מותר להציב $lo g_{2} (- 4)$ ".

נכון: ארגומנט הלוגריתם חייב להיות חיובי, כי הוא הטווח של המעריכית; $lo g_{2} (- 4)$ אינו מוגדר.

למה זה קורה?

לא מפנימים שהפונקציות הפוכות זו לזו ולכן תחום וטווח מתחלפים.

איך מתקנים?

המעריכית מוגדרת לכל x והטווח שלה

y>0

; הלוגריתם מוגדר רק ל-

x>0

והטווח שלו כל y.

טעות נפוצה: חושבים שכל מעריכית עולה

טעות: " $(1/3)^{x}$ עולה כי חזקה גדלה".

נכון: הבסיס 1/3<1, ולכן $(1/3)^{x}$ יורדת (שווה ל- $3^{- x}$ ).

למה זה קורה?

מתרגלים בעיקר בבסיסים גדולים מ-1 כמו 2 ו-e ושוכחים את המקרה

0<a<1

איך מתקנים?

אם

a>1

הפונקציה עולה; אם

0<a<1 (

כמו

\frac{1}{2}

או

\frac{1}{3})

היא יורדת. תמיד משווים את הבסיס ל-1.

סיכום

מה למדנו?

הפונקציה המעריכית $y = a^{x}$ ( $a > 0, a \neq = 1$ ):

תחום: כל x; טווח: y>0; עוברת ב-(0,1); אסימפטוטה y=0.
a>1 ⟸ עולה; 0<a<1 ⟸ יורדת.
מקבילה לסדרה הנדסית עם מנה q=a.

הפונקציה הלוגריתמית $y = lo g_{a} x$ — ההפוכה למעריכית:

תחום: x>0; טווח: כל y; עוברת ב-(1,0); אסימפטוטה אנכית x=0.
הגרפים סימטריים ביחס לישר y=x, ותחום/טווח מתחלפים.

בשיעור הבא נכיר את המספר e ואת הבסיס הטבעי.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על תכונות הגרפים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות!

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: תכונות ותיאור גרפי

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: תכונות ותיאור גרפי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תכונות הגרף של y=3ˣ

תארו את התחום, הטווח, החיתוך עם הצירים והאסימפטוטה של f(x)=3xf(x)=3^{x}f(x)=3x.

דוגמה 2: פונקציה מעריכית יורדת

האם f(x)=(12)xf(x)=(\frac{1}{2})^{x}f(x)=(21​)x עולה או יורדת? תארו את הגרף.

דוגמה 3: מעריכית וסדרה הנדסית

סדרה הנדסית: an=5⋅3n−1a_{n}=5 \cdot 3^{n-1}an​=5⋅3n−1. מצאו פונקציה מעריכית מתאימה וחשבו את a3a_{3}a3​.

דוגמה 4: לוגריתם כהפוכה — שיקוף סביב y=x

הגרף של f(x)=2xf(x)=2^{x}f(x)=2x עובר ב-(3,8)(3,8)(3,8). דרך איזו נקודה עובר גרף ההפוכה g(x)=log⁡2xg(x)=\log _{2}xg(x)=log2​x?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שגרף y=axy=a^{x}y=ax חותך את ציר x

טעות נפוצה: מבלבלים בין תחום המעריכית לתחום הלוגריתם

טעות נפוצה: חושבים שכל מעריכית עולה

סיכום

תרגול נוסף

תארו את התחום, הטווח, החיתוך עם הצירים והאסימפטוטה של $f(x)=3^{x}$ .

האם $f(x)=(\frac{1}{2})^{x}$ עולה או יורדת? תארו את הגרף.

סדרה הנדסית: $a_{n}=5 \cdot 3^{n-1}$ . מצאו פונקציה מעריכית מתאימה וחשבו את $a_{3}$ .

הגרף של $f(x)=2^{x}$ עובר ב- $(3,8)$ . דרך איזו נקודה עובר גרף ההפוכה $g(x)=\log _{2}x$ ?

טעות נפוצה: חושבים שגרף $y=a^{x}$ חותך את ציר x