גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חיים

מבוא

מטרות השיעור

לתאר את המודל המעריכי $N (t) = N_{0} e^{k t}$ : גדילה עבור k>0, דעיכה עבור k<0
לחשב זמן מחצית חיים וזמן הכפלה בעזרת הלוגריתם הטבעי
ליישם את המודל בבעיות: התפרקות תרופות, התפרקות רדיואקטיבית ותיארוך פחמן-14
להבין סקאלה לוגריתמית (סולם ריכטר) ולפרש הפרשי דרגות

הרעיון המרכזי

המודל המעריכי

תהליכי גדילה ודעיכה רבים בטבע ובכלכלה מתוארים על ידי: $N (t) = N_{0} e^{k t}$

כאשר $N_{0} = N (0)$ הוא הערך ההתחלתי ו-k קבוע הקצב. k>0 נותן גדילה ו-k<0 נותן דעיכה. דגם דעיכה שקול הוא $N (t) = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ , כאשר T זמן מחצית החיים.

זמן מחצית חיים וזמן הכפלה

זמן מחצית חיים T (בדעיכה): הזמן שבו נותרת מחצית הכמות. מציבים $N (T) = \frac{N _{0}}{2}$ : $e^{k T} = \frac{1}{2} \Rightarrow k T = ln \frac{1}{2} = - ln 2 \Rightarrow T = \frac{l n 2}{∣ k ∣}$

זמן הכפלה (בגדילה): הזמן שבו הכמות מוכפלת. מציבים $N (t) = 2 N_{0}$ : $e^{k t} = 2 \Rightarrow t = \frac{l n 2}{k}$

שימו לב: שני הזמנים תלויים רק בקבוע הקצב k, ולא בכמות ההתחלתית $N_{0}$ .

סקאלה לוגריתמית — סולם ריכטר

סולם ריכטר מודד עוצמת רעידות אדמה בסקאלה לוגריתמית בבסיס 10: דרגה M מתאימה למשרעת יחסית של $1 0^{M}$ . לכן הפרש של דרגה אחת פירושו פי 10 במשרעת, והפרש של שתי דרגות פירושו פי $1 0^{2} = 100$ . סקאלות לוגריתמיות משמשות לדחיסת טווח עצום של ערכים (גם בעוצמת קול ובחומציות pH).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: התפרקות רדיואקטיבית במספר שלם של זמני מחצית

חומר רדיואקטיבי, 100 מ״ג, זמן מחצית חיים 8 ימים. כמה יישאר אחרי 16 ימים?

N (16) = 100 (\frac{1}{2})^{2} = 25 mg

שלב 1 — כמה זמני מחצית

16 ימים

= \frac{16}{8} = 2

זמני מחצית חיים.

תשובה מספרית

דגימה של 80 גרם חומר רדיואקטיבי בעלת זמן מחצית חיים של 5 שנים. כמה גרם יישארו לאחר 10 שנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: התפרקות תרופה בדם

ריכוז תרופה $C(t)=200 \cdot e^(-0.25t)$ מ״ג (t בשעות). מהו הריכוז אחרי 4 שעות?

C (4) = 200 e^{- 1} = \frac{200}{e} \approx 73.58 mg

שלב 1 — מציבים $t=4$

C(4)=200 \cdot e^(-0.25 \cdot 4)=200 \cdot e^(-1)

תשובה מספרית

ריכוז תרופה בדם (במ"ג) דועך לפי $C(t)=200 \cdot e^(-0.25t)$ , כאשר t בשעות. מהו הריכוז לאחר 4 שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. (e≈2.718)

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: תיארוך פחמן-14

זמן מחצית חיים של פחמן-14 הוא 5730 שנים. בממצא נותרו 25% מהפחמן-14. מהו גילו?

(\frac{1}{2})^{t /5730} = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 2 \cdot 5730 = 11460 שנים

שלב 1 — מתרגמים אחוז לחזקה

25\% =

רבע

= (\frac{1}{2})^{2}

, כלומר עברו 2 זמני מחצית חיים.

תשובה מספרית

זמן מחצית החיים של פחמן-14 הוא כ-5730 שנים. בממצא ארכיאולוגי נמדד כי נותרו 25% מכמות הפחמן-14 ההתחלתית. מהו גילו המשוער של הממצא (בשנים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חישוב זמן מחצית חיים מתוך הקצב

חומר דועך לפי $N(t)=N_{0} \cdot e^(-0.1t) (t$ בשעות). מהו זמן מחצית החיים?

e^{- 0.1 T} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{l n 2}{0.1} \approx 6.93 שעות

שימו לב: T תלוי רק בקבוע 0.1, לא ב- $N_{0}$ .

שלב 1 — תנאי מחצית חיים

מחפשים T כך ש-

N(T)=\frac{N_{0}}{2}

, כלומר

e^(-0.1T)=\frac{1}{2}

תשובה מספרית

כמות חומר דועכת לפי $N(t)=N_{0} \cdot e^(-0.1t) (t$ בשעות). מהו זמן מחצית החיים של החומר (בשעות)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית $. (\ln 2≈0.6931)$

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: זמן הכפלה של אוכלוסייה

אוכלוסייה $P(t)=500 \cdot e^(0.04t) (t$ בשעות). כעבור כמה זמן תכפיל את עצמה?

e^{0.04 t} = 2 \Rightarrow t = \frac{l n 2}{0.04} \approx 17.33 שעות

שלב 1 — תנאי הכפלה

מחפשים t כך ש-

P(t)=1000=2 \cdot 500

, כלומר

e^(0.04t)=2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאחרי שני זמני מחצית לא נשאר כלום

טעות: "אחרי 2 זמני מחצית חיים נשאר 0 (כי $50% + 50%$ )".

נכון: נשאר $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ מהכמות ההתחלתית.

למה זה קורה?

מבלבלים 'מחצית חיים' עם 'זמן ההיעלמות' ומחברים אחוזים

(50\%+50\%=100\%)

איך מתקנים?

בכל מחצית חיים הכמות מתחלקת ב-2: אחרי אחת נשאר חצי, אחרי שתיים רבע, אחרי שלוש שמינית. לעולם לא 0.

טעות נפוצה: מפרשים סקאלה לוגריתמית כלינארית

טעות: "רעידה בדרגה 6 חזקה פי 1.5 מדרגה 4".

נכון: היחס הוא $1 0^{6} /1 0^{4} = 1 0^{2} = 100$ — פי 100 במשרעת.

למה זה קורה?

מתייחסים להפרש דרגות בריכטר כאל הפרש כמותי רגיל.

איך מתקנים?

הסקאלה לוגריתמית בבסיס 10: הפרש דרגה אחת = פי 10, הפרש שתי דרגות = פי 100, לא פי 2.

טעות נפוצה: חושבים שזמן מחצית החיים תלוי בכמות ההתחלתית

טעות: "ל-100 גרם זמן מחצית חיים ארוך יותר מ-10 גרם".

נכון: $N_{0}$ מצטמצם במשוואה $e^{k T} = \frac{1}{2}$ , ולכן T אינו תלוי בו.

למה זה קורה?

חשים שכמות גדולה יותר 'לוקחת יותר זמן' להתחלק לחצי.

איך מתקנים?

זמן מחצית החיים נקבע רק מקבוע הקצב

k: T=\ln 2/|k|

. הוא זהה לכל כמות התחלתית.

סיכום

מה למדנו?

מודל גדילה/דעיכה מעריכית: $N (t) = N_{0} e^{k t}$ — k>0 גדילה, k<0 דעיכה.

זמן מחצית חיים: $T = \frac{ln 2}{∣ k ∣}$ (פותרים $e^{k T} = \frac{1}{2}$ עם $ln$ ).
זמן הכפלה: $t = \frac{ln 2}{k}$ (פותרים $e^{k t} = 2$ ).
שני הזמנים אינם תלויים בכמות ההתחלתית $N_{0}$ .
סקאלה לוגריתמית (ריכטר): הפרש דרגה = פי 10; הפרש שתי דרגות = פי 100.

יישומים: התפרקות תרופות ורדיואקטיבית, תיארוך פחמן-14, ועוצמת רעידות אדמה. זוהי היחידה החותמת — שילבנו את המעריכית, הלוגריתם והנגזרת בכלים יישומיים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חיים!

גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חיים

גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: התפרקות רדיואקטיבית במספר שלם של זמני מחצית

חומר רדיואקטיבי, 100 מ״ג, זמן מחצית חיים 8 ימים. כמה יישאר אחרי 16 ימים?

דוגמה 2: התפרקות תרופה בדם

ריכוז תרופה C(t)=200⋅e(−0.25t)C(t)=200 \cdot e^(-0.25t)C(t)=200⋅e(−0.25t) מ״ג (t בשעות). מהו הריכוז אחרי 4 שעות?

דוגמה 3: תיארוך פחמן-14

זמן מחצית חיים של פחמן-14 הוא 5730 שנים. בממצא נותרו 25% מהפחמן-14. מהו גילו?

דוגמה 4: חישוב זמן מחצית חיים מתוך הקצב

חומר דועך לפי N(t)=N0⋅e(−0.1t)(tN(t)=N_{0} \cdot e^(-0.1t) (tN(t)=N0​⋅e(−0.1t)(t בשעות). מהו זמן מחצית החיים?

דוגמה 5: זמן הכפלה של אוכלוסייה

אוכלוסייה P(t)=500⋅e(0.04t)(tP(t)=500 \cdot e^(0.04t) (tP(t)=500⋅e(0.04t)(t בשעות). כעבור כמה זמן תכפיל את עצמה?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאחרי שני זמני מחצית לא נשאר כלום

טעות נפוצה: מפרשים סקאלה לוגריתמית כלינארית

טעות נפוצה: חושבים שזמן מחצית החיים תלוי בכמות ההתחלתית

סיכום

תרגול נוסף

ריכוז תרופה $C(t)=200 \cdot e^(-0.25t)$ מ״ג (t בשעות). מהו הריכוז אחרי 4 שעות?

חומר דועך לפי $N(t)=N_{0} \cdot e^(-0.1t) (t$ בשעות). מהו זמן מחצית החיים?

אוכלוסייה $P(t)=500 \cdot e^(0.04t) (t$ בשעות). כעבור כמה זמן תכפיל את עצמה?