המספר e, המשפחה y=e^(kx) והלוגריתם הטבעי

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את המספר $e \approx 2.718$ כקבוע ממשי וכבסיס הטבעי של פונקציות מעריכיות
לתאר את המשפחה $y = e^{k x}$ : גדילה עבור k>0, דעיכה עבור k<0
להגדיר את הלוגריתם הטבעי $ln x = lo g_{e} x$ כפונקציה ההפוכה ל- $e^{x}$
ליישם את הזהויות $e^{l n x} = x$ ו- $ln (e^{x}) = x$ לפתרון משוואות מעריכיות ולוגריתמיות

הרעיון המרכזי

מהו המספר e?

המספר e הוא קבוע ממשי אי-רציונלי, $e \approx 2.71828$ — בדיוק כמו ש- $π$ הוא קבוע. הוא נבחר כבסיס ה"טבעי" כי הוא הבסיס היחיד שעבורו שיפוע המשיק לגרף $y = e^{x}$ בנקודה (0,1) שווה בדיוק ל-1. תכונה זו תהפוך את הגזירה של $e^{x}$ לפשוטה במיוחד (בשיעור הבא).

המשפחה $y=e^(kx)$

הפונקציות מהצורה $y = e^{k x}$ מתארות תהליכי גדילה ודעיכה. הסימן של הפרמטר k קובע את המגמה:

k>0: הפונקציה גדלה (מודל גדילה מעריכית).
k<0: הפונקציה דועכת — יורדת לעבר האסימפטוטה y=0 (מודל דעיכה).

הערך המוחלט של k קובע את קצב הגדילה או הדעיכה: ככל ש-|k| גדול יותר, כך השינוי מהיר יותר.

הלוגריתם הטבעי $\ln$

הלוגריתם הטבעי הוא הלוגריתם בבסיס e: $ln x = lo g_{e} x$ . זוהי הפונקציה ההפוכה ל- $e^{x}$ , ולכן מתקיימות הזהויות: $e^{l n x} = x (x > 0), ln (e^{x}) = x (לכל x)$

ערכים שימושיים: $ln 1 = 0$ (כי $e^{0} = 1$ ) ו- $ln e = 1$ (כי $e^{1} = e$ ). הלוגריתם הטבעי הוא הכלי המרכזי לפתרון משוואות מעריכיות בבסיס e.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גדילה מול דעיכה במשפחה e^(kx)

קבעו אילו מהפונקציות גדלות ואילו דועכות: $f(x)=e^(0.5x), g(x)=e^(-x)$ .

f (x) = e^{0.5 x} גדלה, g (x) = e^{- x} דועכת

שלב 1 — בודקים את הסימן של k ב-f

ב-

f(x)=e^(0.5x)

מתקיים

k=0.5>0

, ולכן f גדלה (עולה).

דוגמה 2: זהויות e ו-ln

חשבו: (א) $e^(\ln 7); ($ ב) $\ln (e^{5}); ($ ג) $\ln 1$ .

e^{l n 7} = 7, ln (e^{5}) = 5, ln 1 = 0

(א) — e בחזקת $\ln$

לפי

e^(\ln x)=x

, מקבלים

e^(\ln 7)=7

תשובה מספרית

השתמשו בזהות $e^(\ln x)=x ($ לכל $x>0)$ כדי לחשב את הערך של $e^(\ln 7)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בחירה מרובה

אילו מהשוויונות הבאים נכונים? (סמנו את כל הנכונים.)

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: פתרון משוואה מעריכית בעזרת ln

פתרו את המשוואה $e^x=20 ($ עגלו לשתי ספרות; $\ln 20≈2.9957)$ .

e^{x} = 20 \Rightarrow x = ln 20 \approx 3.00

הלוגריתם הטבעי "משחרר" את המעריך.

שלב 1 — מפעילים $\ln$

\ln (e^{x})=\ln 20

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה $e^(3x)=e^{12}$ ומצאו את x.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת פרמטר k מנקודה

גרף $f(x)=e^(kx)$ עובר בנקודה $(2, e^{6})$ . מצאו את k.

e^{2 k} = e^{6} \Rightarrow 2 k = 6 \Rightarrow k = 3

שלב 1 — מציבים את הנקודה

f(2)=e^(k \cdot 2)=e^{6}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון שגרף הפונקציה $f(x)=e^(kx)$ עובר בנקודה $(2, e^6)$ . מהו ערך הפרמטר k?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתייחסים ל-e כמשתנה

טעות: " $\frac{e ^{x}}{e} = x$ ".

נכון: $\frac{e ^{x}}{e} = e^{x - 1}$ — מחסירים מעריכים, e אינו משתנה.

למה זה קורה?

האות e נראית כמו משתנה, ולא תמיד זוכרים שהיא קבוע מספרי.

איך מתקנים?

e הוא קבוע קבוע, e≈2.718, בדיוק כמו

\pi ≈3.14

. אסור 'לבטל' אותו או להתייחס אליו כאל נעלם.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\ln$ ו-e מתבטלים תמיד

טעות: " $ln (e^{x} + 1) = x + 1$ ".

נכון: $ln (e^{x} + 1)$ אינו מתפשט — הזהות תקפה רק ל- $ln (e^{x}) = x$ , בלי תוספת בתוך הסוגריים.

למה זה קורה?

מכלילים את הזהות

e^(\ln x)=x

גם למקרים שאינם הרכבה ישירה.

איך מתקנים?

הביטול עובד רק בהרכבה צמודה:

e^(\ln x)=x

וגם

\ln (e^{x})=x

. ב-

\ln (x) \cdot e^{x}

אין שום ביטול.

טעות נפוצה: חושבים ש- $e^(kx)$ תמיד גדלה

טעות: " $e^{- 2 x}$ גדלה כי זו פונקציית e".

נכון: כאן k=-2<0, ולכן $e^{- 2 x}$ דועכת (שווה ל- $(e^{- 2})^{x}$ עם בסיס קטן מ-1).

למה זה קורה?

מתמקדים במודלים של גדילה ומזניחים את מקרה הדעיכה.

איך מתקנים?

הסימן של k קובע:

k>0

גדילה

, k<0

דעיכה

. e^(-2x)

דווקא יורדת.

סיכום

מה למדנו?

$e \approx 2.718$ הוא קבוע ממשי — הבסיס הטבעי של החזקות.
במשפחה $y = e^{k x}$ : k>0 ⟸ גדילה, k<0 ⟸ דעיכה; |k| קובע את הקצב.
הלוגריתם הטבעי $ln x = lo g_{e} x$ הוא ההפוכה של $e^{x}$ .
זהויות מפתח: $e^{l n x} = x$ , $ln (e^{x}) = x$ , $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ .
כדי לפתור $e^{x} = k$ מפעילים $ln$ על שני האגפים: $x = ln k$ .

בשיעור הבא נלמד לגזור פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על המספר e, המשפחה e^(kx) והלוגריתם הטבעי!

המספר e, המשפחה y=e^(kx) והלוגריתם הטבעי

המספר e, המשפחה y=e^(kx) והלוגריתם הטבעי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גדילה מול דעיכה במשפחה e^(kx)

קבעו אילו מהפונקציות גדלות ואילו דועכות: f(x)=e(0.5x),g(x)=e(−x)f(x)=e^(0.5x), g(x)=e^(-x)f(x)=e(0.5x),g(x)=e(−x).

דוגמה 2: זהויות e ו-ln

חשבו: (א)e(ln⁡7);(e^(\ln 7); (e(ln7);(ב)ln⁡(e5);(\ln (e^{5}); (ln(e5);(ג)ln⁡1\ln 1ln1.

דוגמה 3: פתרון משוואה מעריכית בעזרת ln

פתרו את המשוואה ex=20(e^x=20 (ex=20(עגלו לשתי ספרות; ln⁡20≈2.9957)\ln 20≈2.9957)ln20≈2.9957).

דוגמה 4: מציאת פרמטר k מנקודה

גרף f(x)=e(kx)f(x)=e^(kx)f(x)=e(kx) עובר בנקודה (2,e6)(2, e^{6})(2,e6). מצאו את k.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתייחסים ל-e כמשתנה

טעות נפוצה: חושבים ש-ln⁡\lnln ו-e מתבטלים תמיד

טעות נפוצה: חושבים ש-e(kx)e^(kx)e(kx) תמיד גדלה

סיכום

תרגול נוסף

קבעו אילו מהפונקציות גדלות ואילו דועכות: $f(x)=e^(0.5x), g(x)=e^(-x)$ .

חשבו: (א) $e^(\ln 7); ($ ב) $\ln (e^{5}); ($ ג) $\ln 1$ .

פתרו את המשוואה $e^x=20 ($ עגלו לשתי ספרות; $\ln 20≈2.9957)$ .

גרף $f(x)=e^(kx)$ עובר בנקודה $(2, e^{6})$ . מצאו את k.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\ln$ ו-e מתבטלים תמיד

טעות נפוצה: חושבים ש- $e^(kx)$ תמיד גדלה