פונקציה קדומה ובעיות הצטברות

מבוא

מטרות השיעור

למצוא פונקציה קדומה יחידה לפי נגזרתה ונקודה על גרפה (קביעת הקבוע C)
ליישם זאת לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
להבין שבעיית הצטברות היא אינטגרל של קצב שינוי על קטע
לפתור בעיות יישומיות: גידול אוכלוסייה, התפרקות רדיואקטיבית, מילוי מיכל
לפרש נכון את הסימן של הקצב (גודל שגדל לעומת גודל שפוחת)

הרעיון המרכזי

מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה

לפונקציה נתונה יש משפחה שלמה של פונקציות קדומות, הנבדלות בקבוע C. כדי לבחור את הפונקציה היחידה דרושה נקודה על גרפה.

התהליך:

מאנטגרלים את הנגזרת ומקבלים $F (x) = (קדומה) + C$ .
מציבים את הנקודה הנתונה $(x_{0}, y_{0})$ ופותרים את המשוואה $F (x_{0}) = y_{0}$ עבור C.
כותבים את הפונקציה המלאה ומציבים בה כנדרש.

הקבוע C הוא הכרחי — בלעדיו יש אינסוף פונקציות אפשריות.

בעיות הצטברות

כאשר פונקציה f(t) מתארת קצב שינוי (חיידקים לשעה, ליטרים לדקה, גרם לשנה), הכמות המצטברת בקטע [a,b] היא האינטגרל המסוים:

כמות מצטברת = \int_{a}^{b} f (t) d t

שני נוסחים שקולים:

כמות שהצטברה בקטע: $\int_{a}^{b} f (t) d t$ .
ערך הגודל בזמן t: מוצאים את F(t) (קדומה) לפי הערך ההתחלתי F(0).

שימו לב לסימן: אם הקצב f(t) שלילי, הגודל פוחת, והאינטגרל יוצא שלילי — זהו שינוי נטו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת פונקציה מעריכית לפי נקודה

נתון $F'(x)=e^x$ ו- $F(0)=5$ . מצאו את F(x).

F (x) = e^{x} + C, e^{0} + C = 5 \Rightarrow C = 4, F (x) = e^{x} + 4

הנקודה הנתונה היא שקובעת איזו קדומה מתוך כל המשפחה.

שלב 1 — משפחת הקדומות

הקדומות של

e^x

הן

F(x)=e^x+C

תשובה מספרית

נתון $F'(x) = e^x$ ו- $F(0) = 5$ . מהו קבוע האינטגרציה C בביטוי $F(x) = e^x + C$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת פונקציה לוגריתמית לפי נקודה

נתון $F'(x)=\frac{1}{x}$ ו- $F(1)=3 (x>0)$ . מצאו את F(x).

F (x) = ln x + C, ln 1 + C = 3 \Rightarrow C = 3, F (x) = ln x + 3

שלב 1 — משפחת הקדומות

הקדומות של

\frac{1}{x} (

עבור

x>0)

הן

F(x)=\ln x + C

דוגמה 3: הצטברות — גידול תרבית חיידקים

תרבית חיידקים גדלה בקצב $r(t)=100e^(0.5t)$ חיידקים/שעה. כמה חיידקים נוספו בין $t=0$ ל- $t=2$ ?

\int_{0}^{2} 100 e^{0.5 t} d t = 100 [2 e^{0.5 t}]_{0}^{2} = 200 (e - 1) \approx 344

הקצב נמדד ב"חיידקים לשעה"; ההצטברות נותנת את מספר החיידקים שנוספו.

שלב 1 — הכמות היא הצטברות הקצב

מספר החיידקים שנוספו

= ∫ from 0 to 2

של

100e^(0.5t) dt

בדיקה מהירה

נתון $F'(x) = \frac{1}{x}$ ו- $F(1) = 3 ($ עבור $x>0)$ . מהי הפונקציה F(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

תרבית חיידקים גדלה בקצב $r(t) = 100 \cdot e^(0.5t)$ חיידקים לשעה, כאשר t נמדד בשעות. כמה חיידקים נוספו בסך הכול בין $t=0$ ל- $t=2$ ? תנו תשובה מעוגלת לשלם הקרוב (e ≈ 2.718).

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הצטברות עם קצב שלילי — התפרקות רדיואקטיבית

מסה פוחתת בקצב $m'(t)=-4e^(-0.5t)$ גרם/שנה, עם $m(0)=10$ גרם. מהי המסה בזמן $t=2$ ?

m (t) = 8 e^{- 0.5 t} + 2, m (2) = 8 e^{- 1} + 2 \approx 4.94 גרם

הקצב שלילי, ולכן המסה פוחתת (מ-10 גרם ל-4.94 גרם). השאיפה ל-2 גרם היא ה"רמה הנותרת" כש- $t \to \infty$ .

שלב 1 — מאנטגרלים את הקצב

m(t)=∫ -4e^(-0.5t) dt = 8e^(-0.5t)+C (

מחלקים בפנימית

-0.5

, ולכן

-\frac{4}{-0.5}=8)

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מסת דגימה רדיואקטיבית פוחתת בקצב $m'(t) = -4 \cdot e^(-0.5t)$ גרם לשנה, כאשר המסה ההתחלתית היא $m(0) = 10$ גרם. מהי המסה (בגרמים) לאחר $t=2$ שנים? תנו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה $(e^(-1) ≈ 0.368)$ .

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שכחת קבוע האינטגרציה C

טעות: מ- $F^{'} (x) = e^{x}$ ו-F(0)=5 מסיקים $F (x) = e^{x}$ ומתעלמים מהנקודה.

נכון: $F (x) = e^{x} + C$ , ומ-F(0)=5 מקבלים C=4.

למה זה קורה?

חושבים שלפונקציה יש פונקציה קדומה יחידה, ולכן לא משתמשים בנקודה הנתונה.

איך מתקנים?

לכל פונקציה יש משפחה שלמה של קדומות הנבדלות ב-C. הנקודה הנתונה היא שקובעת את C.

טעות נפוצה: בלבול בין קצב השינוי לבין הגודל המצטבר

טעות: בקצב $r (t) = 100 e^{0.5 t}$ , מחשבים $r (2) = 100 e^{1} \approx 272$ כ"מספר החיידקים שנוספו".

נכון: מספר החיידקים שנוספו הוא $\int_{0}^{2} 100 e^{0.5 t} d t \approx 344$ .

למה זה קורה?

מציבים זמן באינטגרנד (הקצב) במקום לאנטגרל אותו על הקטע.

איך מתקנים?

הקצב הוא f(t); הכמות המצטברת היא האינטגרל ∫ from a to b של f(t) dt. שאלו 'כמה הצטבר' — זה אינטגרל.

טעות נפוצה: התעלמות מסימן הקצב

ב- $T^{'} (t) = \frac{1}{t + 1} - 1$ על [0,3]: $\int_{0}^{3} (\frac{1}{t + 1} - 1) d t = ln 4 - 3 \approx - 1.61$ — הטמפרטורה ירדה נטו.

למה זה קורה?

מתייחסים לכל הצטברות כאל גדילה, גם כשהקצב שלילי.

איך מתקנים?

כשהקצב שלילי הגודל פוחת והאינטגרל שלילי — זהו שינוי נטו, שעשוי להיות הקטנה.

טעות נפוצה: שכחת חלוקה במקדם הפנימית בקדומה

טעות: הקדומה של $e^{0.5 t}$ היא $e^{0.5 t}$ (בגזירה מקבלים $0.5 e^{0.5 t}$ — שגוי).

נכון: הקדומה היא $\frac{1}{0.5} e^{0.5 t} = 2 e^{0.5 t}$ .

למה זה קורה?

בבעיה יישומית מתמקדים בהקשר ושוכחים את כלל הפנימית הלינארית.

איך מתקנים?

גם בבעיה יישומית, הקדומה של

e^(kt)

היא

(\frac{1}{k})e^(kt)

. בדקו תמיד את הקדומה בגזירה.

סיכום

מה למדנו?

מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה:

מאנטגרלים: $F (x) = (קדומה) + C$ .
מציבים את הנקודה ומחשבים את C.
כותבים את הפונקציה המלאה.

בעיות הצטברות: הכמות המצטברת בקטע [a,b] היא $\int_{a}^{b} f (t) d t$ כאשר f הוא קצב השינוי.

זכרו:

הקבוע C הכרחי — הנקודה קובעת אותו.
קצב שלילי ⟸ הגודל פוחת ⟸ אינטגרל שלילי (שינוי נטו).
בקדומה מעריכית/לוגריתמית — אל תשכחו לחלק במקדם הפנימית.

בשיעור הבא נשתמש באינטגרלים אלה לחישוב שטחים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת פונקציה לפי נקודה ועל בעיות הצטברות יישומיות!

פונקציה קדומה ובעיות הצטברות

פונקציה קדומה ובעיות הצטברות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת פונקציה מעריכית לפי נקודה

נתון F′(x)=exF'(x)=e^xF′(x)=ex ו-F(0)=5F(0)=5F(0)=5. מצאו את F(x).

דוגמה 2: מציאת פונקציה לוגריתמית לפי נקודה

נתון F′(x)=1xF'(x)=\frac{1}{x}F′(x)=x1​ ו-F(1)=3(x>0)F(1)=3 (x>0)F(1)=3(x>0). מצאו את F(x).

דוגמה 3: הצטברות — גידול תרבית חיידקים

תרבית חיידקים גדלה בקצב r(t)=100e(0.5t)r(t)=100e^(0.5t)r(t)=100e(0.5t) חיידקים/שעה. כמה חיידקים נוספו בין t=0t=0t=0 ל-t=2t=2t=2?

דוגמה 4: הצטברות עם קצב שלילי — התפרקות רדיואקטיבית

מסה פוחתת בקצב m′(t)=−4e(−0.5t)m'(t)=-4e^(-0.5t)m′(t)=−4e(−0.5t) גרם/שנה, עם m(0)=10m(0)=10m(0)=10 גרם. מהי המסה בזמן t=2t=2t=2?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שכחת קבוע האינטגרציה C

טעות נפוצה: בלבול בין קצב השינוי לבין הגודל המצטבר

טעות נפוצה: התעלמות מסימן הקצב

טעות נפוצה: שכחת חלוקה במקדם הפנימית בקדומה

סיכום

תרגול נוסף

נתון $F'(x)=e^x$ ו- $F(0)=5$ . מצאו את F(x).

נתון $F'(x)=\frac{1}{x}$ ו- $F(1)=3 (x>0)$ . מצאו את F(x).

תרבית חיידקים גדלה בקצב $r(t)=100e^(0.5t)$ חיידקים/שעה. כמה חיידקים נוספו בין $t=0$ ל- $t=2$ ?

מסה פוחתת בקצב $m'(t)=-4e^(-0.5t)$ גרם/שנה, עם $m(0)=10$ גרם. מהי המסה בזמן $t=2$ ?