חישובי שטחים

מבוא

מטרות השיעור

לחשב שטח בין גרף לציר ה-x כשהפונקציה חיובית (השטח שווה לאינטגרל)
לחשב שטח כשהפונקציה שלילית (השטח הוא הערך המוחלט של האינטגרל)
לטפל בפונקציה שמשנה סימן: פיצול בנקודות החיתוך עם ציר ה-x
לחשב שטח בין שני גרפים: $\int_{a}^{b} (עליונה - תחתונה) d x$ עם מציאת נקודות חיתוך
לחשב שטחים מורכבים המשלבים פונקציות מעריכיות, לוגריתמיות ורציונליות

הרעיון המרכזי

שטח בין גרף לציר ה-x

האינטגרל המסוים נותן שטח מסומן. כדי לקבל שטח גאומטרי (אי-שלילי) יש להתחשב בסימן הפונקציה:

אם $f (x) \geq 0$ בקטע: $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
אם $f (x) \leq 0$ בקטע: $S = \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} (- f (x)) d x$ .
אם f משנה סימן: מוצאים את נקודות החיתוך עם ציר ה-x, מפצלים את הקטע, ומחברים את השטחים (כל אחד בערכו המוחלט).

אזהרה: סכימה ישירה מבטלת שטחים

אם פונקציה משנה סימן ונאנטגרל אותה ברצף על כל הקטע, החלקים החיוביים והשליליים מבטלים זה את זה ומתקבל השטח נטו, לא השטח הכולל. השטח הגאומטרי הכולל מתקבל רק מפיצול בנקודות החיתוך וחיבור הערכים המוחלטים.

שטח בין שני גרפים

השטח הכלוא בין y=g(x) (עליונה) ל-y=h(x) (תחתונה) בקטע [a,b] שבו $g (x) \geq h (x)$ :

S = \int_{a}^{b} (g (x) - h (x)) d x

התהליך: (1) מוצאים את נקודות החיתוך g(x)=h(x) — הן גבולות האינטגרציה. (2) קובעים מי העליונה (בודקים נקודת ביניים). (3) מאנטגרלים את g-h. נוסחה זו תקפה גם כשהאזור חוצה את ציר ה-x — ההפרש g-h כבר אי-שלילי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח כשהפונקציה חיובית

חשבו את השטח בין $y=e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 1].

S = \int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e - 1 \approx 1.718

שלב 1 — בודקים סימן

e^x > 0

בכל הקטע, ולכן השטח שווה ישירות לאינטגרל.

תשובה מספרית

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $y = e^x$ לבין ציר ה-x בקטע מ- $x=0$ עד $x=1$ . תנו תשובה מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה (e ≈ 2.718).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שטח כשהפונקציה שלילית

חשבו את השטח בין $y=1-e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 1].

S = \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = [e^{x} - x]_{0}^{1} = (e - 1) - 1 = e - 2 \approx 0.718

השטח חיובי, למרות שהפונקציה עצמה שלילית בקטע.

שלב 1 — בודקים סימן

ב-

(0,1]

מתקיים

e^x>1

, ולכן

1-e^x<0

— הגרף מתחת לציר.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם פונקציה f שלילית בכל הקטע [a,b], אז השטח הכלוא בין גרפה לציר ה-x שווה בדיוק ל-∫ from a to b of f(x) dx (ללא שינוי).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: פונקציה שמשנה סימן

חשבו את השטח הכולל בין $y=\frac{1}{x} - 1$ לציר ה-x בקטע $[\frac{1}{2,} 2]$ .

S = (ln 2 - \frac{1}{2}) + (1 - ln 2) = \frac{1}{2}

לו היינו מאנטגרלים ברצף על $[\frac{1}{2}, 2]$ היינו מקבלים את השטח נטו $(ln 2 - \frac{1}{2}) - (1 - ln 2) = 2 ln 2 - \frac{3}{2} \approx - 0.11$ — לא השטח הכולל!

שלב 1 — נקודת החיתוך

\frac{1}{x} - 1 = 0 ⟸ x = 1

. הפונקציה חיובית ב-

[\frac{1}{2,} 1]

ושלילית ב-[1, 2].

תשובה מספרית

הפונקציה $y = \frac{1}{x} - 1$ משנה סימן בקטע $[\frac{1}{2,} 2] ($ חיובית עד $x=1$ , שלילית אחריו). חשבו את השטח הכולל הכלוא בין גרפה לציר ה-x בקטע זה. תנו תשובה מדויקת $(\ln 2 ≈ 0.693)$ .

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שטח בין שני גרפים עם מציאת חיתוך

חשבו את השטח הכלוא בין $y=\frac{6}{x}$ לבין הישר $y=7-x$ .

S = \int_{1}^{6} (7 - x - \frac{6}{x}) d x = [7 x - \frac{x ^{2}}{2} - 6 ln x]_{1}^{6} = 17.5 - 6 ln 6 \approx 6.75

הקדומה של $\frac{6}{x}$ היא $6 ln ∣ x ∣$ — כאן משולב האינטגרל הלוגריתמי בחישוב שטח בין גרפים.

שלב 1 — נקודות חיתוך

\frac{6}{x} = 7 - x ⟸ x^{2} - 7x + 6 = 0 ⟸ (x-1)(x-6)=0 ⟸ x=1, x=6

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף $y = \frac{6}{x}$ לבין הישר $y = 7 - x. ($ רמז: מצאו תחילה את נקודות החיתוך.) תנו תשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה $(\ln 6 ≈ 1.792)$ .

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: קבלת שטח שלילי כשהפונקציה מתחת לציר

טעות: עבור $y = 1 - e^{x}$ ב-[0,1]: $\int_{0}^{1} (1 - e^{x}) d x = 2 - e \approx - 0.718$ ו"השטח שלילי".

נכון: $S = \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = e - 2 \approx 0.718$ .

למה זה קורה?

מחשבים את האינטגרל ישירות ולא לוקחים את הערך המוחלט.

איך מתקנים?

כשהפונקציה שלילית בקטע, השטח הוא הנגדי של האינטגרל:

S = -∫ f dx = ∫ (-f) dx

, גודל חיובי.

טעות נפוצה: אינטגרציה רציפה על פונקציה שמשנה סימן

טעות: עבור $y = \frac{1}{x} - 1$ ב- $[\frac{1}{2}, 2]$ מחשבים אינטגרל אחד ומקבלים $\approx - 0.11$ (שטח נטו).

נכון: מפצלים ב-x=1 ומקבלים שטח כולל 0.5.

למה זה קורה?

לא בודקים אם הפונקציה חוצה את ציר ה-x בתוך הקטע.

איך מתקנים?

מוצאים את נקודות החיתוך, מפצלים את הקטע, מחשבים כל שטח בערכו המוחלט ומחברים.

טעות נפוצה: אי-מציאת נקודות החיתוך בשטח בין גרפים

טעות: מחשבים $\int_{0}^{6}$ עבור 6/x ו-7-x (הגבול 0 שגוי ואף לא מוגדר).

נכון: פותרים 6/x=7-x, מקבלים x=1,6, ומאנטגרלים מ-1 עד 6.

למה זה קורה?

מנחשים גבולות אינטגרציה במקום לפתור

g(x)=h(x)

איך מתקנים?

גבולות האינטגרציה הם בדיוק נקודות החיתוך של שני הגרפים — פותרים את המשוואה

g(x)=h(x)

טעות נפוצה: חיסור בכיוון הלא נכון (תחתונה פחות עליונה)

ב-x=2: $7 - x = 5 > \frac{6}{x} = 3$ , ולכן העליונה היא הישר, והאינטגרנד הוא $(7 - x) - \frac{6}{x}$ .

למה זה קורה?

לא בודקים בנקודת ביניים מי הגרף העליון.

איך מתקנים?

בודקים נקודה אחת בתוך הקטע כדי לקבוע מי גדולה. תמיד מחשבים (עליונה − תחתונה) כדי לקבל שטח חיובי.

סיכום

מה למדנו?

שטח בין גרף לציר ה-x:

$f \geq 0$ : $S = \int_{a}^{b} f d x$ .
$f \leq 0$ : $S = \int_{a}^{b} (- f) d x$ .
משנה סימן: מפצלים בנקודות החיתוך ומחברים ערכים מוחלטים.

שטח בין שני גרפים: $S = \int_{a}^{b} (עליונה - תחתונה) d x$ , כאשר הגבולות הם נקודות החיתוך.

זכרו:

שטח הוא תמיד אי-שלילי — היזהרו מסימן.
אינטגרל רציף על פונקציה שמשנה סימן נותן שטח נטו, לא כולל.
תמיד מוצאים תחילה את נקודות החיתוך ובודקים מי הגרף העליון.

בכך השלמנו את החשבון האינטגרלי של הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שטחים עם שינוי סימן, שטח בין שני גרפים ושטחים מורכבים!

חישובי שטחים

חישובי שטחים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח כשהפונקציה חיובית

חשבו את השטח בין y=exy=e^xy=ex לציר ה-x בקטע [0, 1].

דוגמה 2: שטח כשהפונקציה שלילית

חשבו את השטח בין y=1−exy=1-e^xy=1−ex לציר ה-x בקטע [0, 1].

דוגמה 3: פונקציה שמשנה סימן

חשבו את השטח הכולל בין y=1x−1y=\frac{1}{x} - 1y=x1​−1 לציר ה-x בקטע [12,2][\frac{1}{2,} 2][2,1​2].

דוגמה 4: שטח בין שני גרפים עם מציאת חיתוך

חשבו את השטח הכלוא בין y=6xy=\frac{6}{x}y=x6​ לבין הישר y=7−xy=7-xy=7−x.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: קבלת שטח שלילי כשהפונקציה מתחת לציר

טעות נפוצה: אינטגרציה רציפה על פונקציה שמשנה סימן

טעות נפוצה: אי-מציאת נקודות החיתוך בשטח בין גרפים

טעות נפוצה: חיסור בכיוון הלא נכון (תחתונה פחות עליונה)

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את השטח בין $y=e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 1].

חשבו את השטח בין $y=1-e^x$ לציר ה-x בקטע [0, 1].

חשבו את השטח הכולל בין $y=\frac{1}{x} - 1$ לציר ה-x בקטע $[\frac{1}{2,} 2]$ .

חשבו את השטח הכלוא בין $y=\frac{6}{x}$ לבין הישר $y=7-x$ .