אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מבוא

מטרות השיעור

למצוא אינטגרלים מידיים של הפונקציות המעריכיות $e^{x}$ ו- $a^{x}$
להבין מדוע הקדומה של $\frac{1}{x}$ היא $ln ∣ x ∣$ ולא חזקה — המקרה החריג בנוסחת החזקה
לזהות את התבנית $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ שהקדומה שלה היא $ln ∣ f (x) ∣$
לטפל בפונקציות מורכבות שהפנימית שלהן לינארית: $e^{a x + b}$ , $a^{k x}$ , $\frac{1}{a x + b}$
לשלב את האינטגרלים החדשים עם פונקציות רציונליות וטריגונומטריות

הרעיון המרכזי

שלושת האינטגרלים המידיים החדשים

לכל אחת מהנגזרות שלמדנו על פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות יש קדומה מתאימה. שלוש הנוסחאות הבסיסיות הן:

\int e^{x} d x = e^{x} + C

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{l n a} + C (a > 0, a \neq = 1)

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

הפונקציה $e^{x}$ היא היחידה ששווה לנגזרתה ולקדומתה. עבור $a^{x}$ אנו מחלקים ב- $ln a$ (שכן בגזירה מופיע גורם $ln a$ , וכאן אנו מבטלים אותו).

מדוע הקדומה של $\frac{1}{x}$ היא לוגריתם? — המקרה החריג

נוסחת האינטגרל של חזקה היא $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ , אך היא תקפה רק כאשר $n \neq = - 1$ . עבור n=-1 המכנה n+1 מתאפס והנוסחה קורסת.

מה ממלא את החֶסֶר? בדיוק הלוגריתם הטבעי: ידוע ש- $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , ולכן $\frac{1}{x}$ היא הנגזרת של $ln x$ . הערך המוחלט נחוץ כדי לכסות גם x<0: עבור x<0 מתקיים $(ln (- x))^{'} = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ . שני המקרים מתאחדים ל- $ln ∣ x ∣$ .

התבנית המרכזית: $f'\frac{x}{f(x)}$

הכלל החשוב ביותר ביחידה הוא הכללה של הקדומה של $\frac{1}{x}$ :

\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C

כלומר: אם המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה, הקדומה היא לוגריתם של המכנה. נבדוק בגזירה לפי כלל השרשרת: $(ln ∣ f (x) ∣)^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ ✓. כשהפנימית f לינארית, f(x)=ax+b, מתקיים $\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל מעריכי בסיסי

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $e^x dx$ .

\int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e - 1 \approx 1.718

שלב 1 — הקדומה

הקדומה של

e^x

היא

e^x

עצמה, שכן

(e^x)' = e^x

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of (e^x) dx$ . תנו תשובה מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה (e ≈ 2.718).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הקדומה של 1/x והמקור לשם "לוגריתם טבעי"

חשבו את ∫ from 1 to e של $(\frac{1}{x}) dx$ .

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = [ln ∣ x ∣]_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1

השטח שמתחת לגרף $y = \frac{1}{x}$ מ-1 עד e שווה בדיוק 1 — זהו המקור לשם "לוגריתם טבעי".

שלב 1 — הקדומה

הקדומה של

\frac{1}{x}

היא

\ln |x| (

ולא חזקה — זהו המקרה החריג).

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 1 to e of (\frac{1}{x}) dx ($ כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: התבנית f'(x)/f(x)

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $\frac{2x}{x^{2}+1} dx$ .

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = [ln (x^{2} + 1)]_{0}^{1} = ln 2 - ln 1 = ln 2 \approx 0.693

שלב 1 — מזהים את התבנית

המונה 2x הוא בדיוק הנגזרת של המכנה

x^{2}+1

. זוהי תבנית

f'\frac{x}{f(x)}

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of (\frac{2x}{x^{2}+1}) dx$ . תנו תשובה מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה $(\ln (2) ≈ 0.693)$ .

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: פנימית לינארית

חשבו את ∫ from 0 to 2 של $e^(2x) dx$ .

\int_{0}^{2} e^{2 x} d x = [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{2} = \frac{1}{2} (e^{4} - 1) \approx 26.80

כלל אצבע לפנימית לינארית ax+b: כותבים את הקדומה ה"רגילה" ומחלקים במקדם a.

שלב 1 — פנימית לינארית

הפנימית 2x לינארית עם מקדם 2. הקדומה של

e^(2x)

היא

(\frac{1}{2})e^(2x)

בדיקה מהירה

מהי הפונקציה הקדומה הכללית של $\frac{1}{2x+1}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שילוב עם פונקציה טריגונומטרית

חשבו את $∫ from 0 to \frac{\pi }{2}$ של $\frac{\cos x}{\sin x + 2} dx$ .

\int_{0}^{π /2} \frac{c o s x}{s i n x + 2} d x = [ln (sin x + 2)]_{0}^{π /2} = ln 3 - ln 2 = ln \frac{3}{2} \approx 0.405

כך משתלבת התבנית הלוגריתמית עם פונקציות טריגונומטריות.

שלב 1 — מזהים $f'/f$

נסמן

f(x)=\sin x + 2

. אז

f'(x)=\cos x

— בדיוק המונה. שוב תבנית

f'\frac{x}{f(x)}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: אינטגרציה של $\frac{1}{x}$ כאילו היא חזקה

טעות: $\int \frac{1}{x} d x = \frac{x ^{0}}{0}$ (חלוקה באפס — חסר משמעות).

נכון: $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

למה זה קורה?

מנסים להחיל את נוסחת החזקה

x^\frac{n+1}{n+1}

על

x^(-1)

, ומקבלים חלוקה באפס.

איך מתקנים?

עבור

n=-1

הנוסחה אינה תקפה. הקדומה של

\frac{1}{x}

היא

\ln |x|

— זהו המקרה החריג היחיד.

טעות נפוצה: בלבול בין הנגזרת לקדומה של $a^x$

טעות: $\int 3^{x} d x = 3^{x} \cdot ln 3 + C$ (זו הנגזרת!).

נכון: $\int 3^{x} d x = \frac{3 ^{x}}{ln 3} + C$ .

למה זה קורה?

זוכרים שמופיע גורם

\ln (a)

אך לא בטוחים אם כופלים או מחלקים בו.

איך מתקנים?

בגזירה כופלים ב-

\ln (a): (a^x)'=a^x \cdot \ln (a)

. לכן בקדומה מחלקים:

∫ a^x dx = a^\frac{x}{\ln (a)} + C

טעות נפוצה: שכחת הערך המוחלט בקדומה של $\frac{1}{x}$

טעות: $\int \frac{1}{x} d x = ln x + C$ (לא מוגדר ל-x<0).

נכון: $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

למה זה קורה?

כותבים

\ln (x)

ושוכחים שהלוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי.

איך מתקנים?

הקדומה היא

\ln |x| (

עם ערך מוחלט). את הערך המוחלט אפשר להשמיט רק כשידוע שהביטוי חיובי לאורך כל קטע האינטגרציה.

טעות נפוצה: התעלמות ממקדם הפנימית הלינארית

טעות: $\int e^{2 x} d x = e^{2 x} + C$ (בגזירה מקבלים $2 e^{2 x}$ — פי 2 מדי).

נכון: $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ .

למה זה קורה?

מעתיקים את הקדומה הבסיסית בלי לחלק במקדם של x בפנימית.

איך מתקנים?

לפנימית

ax+b

מחלקים את הקדומה ב-a. כך

∫ e^(2x) dx = (\frac{1}{2})e^(2x)+C

, ולא

e^(2x)+C

סיכום

מה למדנו?

שלושת האינטגרלים החדשים:

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ — המקרה החריג בנוסחת החזקה.

התבנית המרכזית: $\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C$ (המונה הוא הנגזרת של המכנה).

פנימית לינארית: לפנימית ax+b מחלקים את הקדומה במקדם a.

זכרו:

$e^{x}$ שווה לנגזרתה ולקדומתה — היחידה במשפחתה.
בלוגריתם של 1/x — אל תשכחו את הערך המוחלט.

בשיעור הבא נשכלל את הטכניקות: פונקציה מורכבת ומכפלת פונקציה בנגזרתה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על האינטגרלים המעריכיים והלוגריתמיים ועל זיהוי התבנית f'(x)/f(x)!

אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל מעריכי בסיסי

חשבו את ∫ from 0 to 1 של exdxe^x dxexdx.

דוגמה 2: הקדומה של 1/x והמקור לשם "לוגריתם טבעי"

חשבו את ∫ from 1 to e של (1x)dx(\frac{1}{x}) dx(x1​)dx.

דוגמה 3: התבנית f'(x)/f(x)

חשבו את ∫ from 0 to 1 של 2xx2+1dx\frac{2x}{x^{2}+1} dxx2+12x​dx.

דוגמה 4: פנימית לינארית

חשבו את ∫ from 0 to 2 של e(2x)dxe^(2x) dxe(2x)dx.

דוגמה 5: שילוב עם פונקציה טריגונומטרית

חשבו את ∫from0toπ2∫ from 0 to \frac{\pi }{2}∫from0to2π​ של cos⁡xsin⁡x+2dx\frac{\cos x}{\sin x + 2} dxsinx+2cosx​dx.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: אינטגרציה של 1x\frac{1}{x}x1​ כאילו היא חזקה

טעות נפוצה: בלבול בין הנגזרת לקדומה של axa^xax

טעות נפוצה: שכחת הערך המוחלט בקדומה של 1x\frac{1}{x}x1​

טעות נפוצה: התעלמות ממקדם הפנימית הלינארית

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $e^x dx$ .

חשבו את ∫ from 1 to e של $(\frac{1}{x}) dx$ .

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $\frac{2x}{x^{2}+1} dx$ .

חשבו את ∫ from 0 to 2 של $e^(2x) dx$ .

חשבו את $∫ from 0 to \frac{\pi }{2}$ של $\frac{\cos x}{\sin x + 2} dx$ .

טעות נפוצה: אינטגרציה של $\frac{1}{x}$ כאילו היא חזקה

טעות נפוצה: בלבול בין הנגזרת לקדומה של $a^x$

טעות נפוצה: שכחת הערך המוחלט בקדומה של $\frac{1}{x}$