טכניקות אינטגרציה: פונקציה מורכבת לינארית וכפל בנגזרת

מבוא

מטרות השיעור

ליישם את כלל הסכום ואת כלל הכפל בקבוע באינטגרציה
לאנטגרל פונקציה מורכבת שהפנימית שלה לינארית (חלוקה במקדם הפנימית)
לזהות ולחשב אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרתה — התבנית $\int g^{'} (f (x)) f^{'} (x) d x$
להשלים גורם קבוע חסר כאשר הנגזרת הפנימית מופיעה "עד כדי מקדם"
להבחין מתי הטכניקה אינה חלה (כשנדרש גורם מתקן שאינו קבוע)

הרעיון המרכזי

כללי האינטגרציה הבסיסיים

האינטגרל הוא פעולה לינארית:

\int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

\int k \cdot f (x) d x = k \int f (x) d x (k קבוע)

אזהרה: מותר להוציא רק קבוע מחוץ לאינטגרל. אסור להוציא משתנה או פונקציה של x.

פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית

כאשר הפנימית היא ax+b (לינארית), כלל השרשרת בגזירה מוסיף גורם קבוע a. בפעולה ההפוכה אנו מחלקים ב-a:

\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C

\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C

הכלל פשוט: כותבים את הקדומה ה"רגילה" כאילו הפנימית הייתה x, ומחלקים במקדם a של x. הדבר עובד רק מפני שהפנימית לינארית (הנגזרת שלה קבועה).

אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרתה

זוהי הפעולה ההפוכה לכלל השרשרת. אם באינטגרנד מופיעה הנגזרת הפנימית כגורם, אנו "מקפלים" אותה בחזרה:

\int g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x) d x = g (f (x)) + C

שני מקרים מרכזיים ביחידה:

\int f^{'} (x) e^{f (x)} d x = e^{f (x)} + C \int f (x) \cdot f^{'} (x) d x = \frac{( f ( x ) ) ^{2}}{2} + C

ההנחיה לזיהוי: מסמנים את הפונקציה הפנימית f(x), גוזרים אותה, ובודקים אם f'(x) מופיע באינטגרנד כגורם — לפעמים עד כדי מקדם קבוע שיש להשלים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פנימית לינארית עם כפל בקבוע

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $4 \cdot e^(2x) dx$ .

\int_{0}^{1} 4 e^{2 x} d x = 4 [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = 2 (e^{2} - 1) \approx 12.778

שלב 1 — כלל הכפל בקבוע

מוציאים את הקבוע 4 החוצה:

4 \cdot ∫ from 0 to 1

של

e^(2x) dx

בדיקה מהירה

מהי הפונקציה הקדומה הכללית של $e^(3x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מכפלת פונקציה בנגזרתה (הנגזרת מופיעה במלואה)

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $2x \cdot e^(x^{2}) dx$ .

\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x = [e^{x^{2}}]_{0}^{1} = e - 1 \approx 1.718

שלב 1 — מזהים את הפנימית

הפונקציה הפנימית היא

f(x)=x^{2}

, ונגזרתה

f'(x)=2x

מופיעה בדיוק כגורם.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $∫ 2x \cdot e^(x^{2}) dx = e^(x^{2}) + C$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of (2x \cdot e^(x^{2})) dx$ . תנו תשובה מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה (e ≈ 2.718).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: השלמת גורם קבוע חסר

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $x \cdot e^(x^{2}) dx ($ הפעם מופיע רק x).

\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} [e^{x^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e - 1) \approx 0.859

מותר להשלים רק גורם קבוע. אם היה חסר גורם משתנה (למשל x נוסף) — הטכניקה לא הייתה חלה.

שלב 1 — מזהים את הפער

הפנימית

x^{2}

דורשת נגזרת פנימית 2x, אך באינטגרנד מופיע רק x.

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 1 of (x \cdot e^(x^{2})) dx$ . שימו לב: הנגזרת הפנימית היא 2x, ובאינטגרנד מופיע רק x. תנו תשובה מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה (e ≈ 2.718).

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: התבנית f(x)·f'(x)

חשבו את הקדומה של $\frac{\ln x}{x}$ עבור $x>0$ .

\int \frac{l n x}{x} d x = \int (ln x) \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{( l n x ) ^{2}}{2} + C

שימו לב להבדל: $\frac{ln x}{x}$ היא תבנית $f \cdot f^{'}$ (הקדומה $\frac{f ^{2}}{2}$ ), בעוד $\frac{1}{x ln x} = \frac{1/ x}{ln x}$ היא תבנית $\frac{f ^{'}}{f}$ (הקדומה $ln ∣ ln x ∣$ ).

שלב 1 — כותבים כמכפלה

\frac{\ln x}{x} = (\ln x) \cdot (\frac{1}{x})

. נסמן

f(x)=\ln x

, אז

f'(x)=\frac{1}{x}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שכחה לחלק במקדם הפנימית (או חלוקה כפולה)

טעות: $\int e^{2 x} d x = e^{2 x} + C$ (חסרה חלוקה ב-2).

נכון: $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ .

למה זה קורה?

בלבול בין כלל השרשרת בגזירה, שמוסיף גורם, לבין הפעולה ההפוכה, שמחלקת בו.

איך מתקנים?

לפנימית לינארית

ax+b:

כותבים את הקדומה הבסיסית ומחלקים פעם אחת במקדם a.

טעות נפוצה: הוצאת משתנה מחוץ לאינטגרל כאילו היה קבוע

טעות: $\int x e^{x^{2}} d x = x \int e^{x^{2}} d x$ (אסור — x אינו קבוע).

נכון: משלימים גורם קבוע: $\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ .

למה זה קורה?

מערבבים בין כלל הכפל בקבוע (מותר) לבין הוצאת פונקציה של x (אסור).

איך מתקנים?

רק קבוע מספרי יוצא מחוץ לאינטגרל. גורם משתנה מחייב טכניקה אחרת (למשל זיהוי תבנית

f' \cdot g(f))

טעות נפוצה: יישום 'כפל בנגזרת' כשהנגזרת הפנימית חסרה כגורם משתנה

טעות: $\int e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C$ (אין כאן גורם 2x כלל — אי אפשר להשלים x כקבוע).

נכון: לאינטגרל $\int e^{x^{2}} d x$ אין ביטוי אלמנטרי בכלים שלנו; הטכניקה פשוט אינה חלה.

למה זה קורה?

מזהים פנימית אך לא מוודאים שנגזרתה מופיעה (עד כדי קבוע) באינטגרנד.

איך מתקנים?

הטכניקה חלה רק אם החֶסֶר הוא גורם קבוע. אם חסר גורם משתנה — לא ניתן 'להשלים' אותו.

טעות נפוצה: בלבול בין התבניות $f \cdot f'$ ל- $f'/f$

$\int (ln x) \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{( l n x ) ^{2}}{2} + C$ אבל $\int \frac{1/ x}{ln x} d x = ln ∣ ln x ∣ + C$ .

למה זה קורה?

שתיהן מכילות פונקציה ונגזרתה, אך נותנות קדומות שונות לחלוטין.

איך מתקנים?

f \cdot f' →

קדומה

\frac{f^{2}}{2} (

חזקה)

. f'/f →

קדומה

\ln |f| (

לוגריתם). בדקו מי במונה ומי מוכפל.

סיכום

מה למדנו?

שלוש הטכניקות:

לינאריות: $\int (f \pm g) = \int f \pm \int g$ ו- $\int k f = k \int f$ (רק קבוע יוצא החוצה).
פנימית לינארית ax+b: כותבים את הקדומה הרגילה ומחלקים ב-a.
מכפלת פונקציה בנגזרתה: $\int g^{'} (f) f^{'} d x = g (f) + C$ ; משלימים גורם קבוע חסר בלבד.

שתי התבניות החשובות:

$\int f^{'} e^{f} d x = e^{f} + C$
$\int f \cdot f^{'} d x = \frac{f ^{2}}{2} + C$

זכרו: תמיד מסמנים את הפנימית, גוזרים, ובודקים את הקדומה בגזירה.

בשיעור הבא נמצא פונקציה קדומה לפי נקודה ונפתור בעיות הצטברות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פנימית לינארית, השלמת גורם קבוע וזיהוי מכפלת פונקציה בנגזרתה!

טכניקות אינטגרציה: פונקציה מורכבת לינארית וכפל בנגזרת

טכניקות אינטגרציה: פונקציה מורכבת לינארית וכפל בנגזרת

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פנימית לינארית עם כפל בקבוע

חשבו את ∫ from 0 to 1 של 4⋅e(2x)dx4 \cdot e^(2x) dx4⋅e(2x)dx.

דוגמה 2: מכפלת פונקציה בנגזרתה (הנגזרת מופיעה במלואה)

חשבו את ∫ from 0 to 1 של 2x⋅e(x2)dx2x \cdot e^(x^{2}) dx2x⋅e(x2)dx.

דוגמה 3: השלמת גורם קבוע חסר

חשבו את ∫ from 0 to 1 של x⋅e(x2)dx(x \cdot e^(x^{2}) dx (x⋅e(x2)dx(הפעם מופיע רק x).

דוגמה 4: התבנית f(x)·f'(x)

חשבו את הקדומה של ln⁡xx\frac{\ln x}{x}xlnx​ עבור x>0x>0x>0.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שכחה לחלק במקדם הפנימית (או חלוקה כפולה)

טעות נפוצה: הוצאת משתנה מחוץ לאינטגרל כאילו היה קבוע

טעות נפוצה: יישום 'כפל בנגזרת' כשהנגזרת הפנימית חסרה כגורם משתנה

טעות נפוצה: בלבול בין התבניות f⋅f′f \cdot f'f⋅f′ ל-f′/ff'/ff′/f

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $4 \cdot e^(2x) dx$ .

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $2x \cdot e^(x^{2}) dx$ .

חשבו את ∫ from 0 to 1 של $x \cdot e^(x^{2}) dx ($ הפעם מופיע רק x).

חשבו את הקדומה של $\frac{\ln x}{x}$ עבור $x>0$ .

טעות נפוצה: בלבול בין התבניות $f \cdot f'$ ל- $f'/f$