משוואות ואי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים

מבוא

מטרות השיעור

לפתור משוואות מעריכיות באמצעות השוואת בסיסים, ובאמצעות מעבר ללוגריתם כשהבסיסים אינם ניתנים להשוואה
לפתור משוואות לוגריתמיות בעזרת חוקי הלוגריתמים, תוך בדיקת תחום ההגדרה ופסילת פתרונות זרים
להשתמש בהחלפת משתנה במשוואות מהצורה $a^{2 x} + \dots$
לפתור אי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים בעזרת מונוטוניות, ולהיזהר מהיפוך הכיוון כשהבסיס בין 0 ל-1
ליישם את הכלים בבעיה יישומית (גדילה/דעיכה)

הכלים האלה נדרשים בהמשך לחקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ולבעיות יישומיות.

הרעיון המרכזי

העיקרון: חד-חד-ערכיות ומונוטוניות

הפונקציה המעריכית $a^{x}$ והפונקציה הלוגריתמית $lo g_{a} x$ (עבור $a > 0, a \neq = 1$ ) הן חד-חד-ערכיות. לכן:

משוואה: $a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ , וגם $lo g_{a} u = lo g_{a} v ⟺ u = v$ (בתחום ההגדרה).
אי-שוויון: הכיוון תלוי במונוטוניות:
- אם a>1 (פונקציה עולה): הכיוון נשמר — $a^{u} > a^{v} ⟺ u > v$ .
- אם 0<a<1 (פונקציה יורדת): הכיוון מתהפך — $a^{u} > a^{v} ⟺ u < v$ .

שיטות לפתרון משוואות מעריכיות

השוואת בסיסים: אם אפשר לכתוב את שני האגפים כחזקות של אותו בסיס — משווים מעריכים. דוגמה: $2^{x} = 32 = 2^{5} \Rightarrow x = 5$ .
מעבר ללוגריתם: אם הבסיסים אינם ניתנים להשוואה — לוקחים לוגריתם משני האגפים. דוגמה: $2^{x} = 10 \Rightarrow x = lo g_{2} 10$ .
החלפת משתנה: במשוואה מהצורה $a^{2 x} + \dots$ מציבים $t = a^{x}$ (ותמיד t>0).

משוואות לוגריתמיות — תחום ההגדרה הוא קריטי

לוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי. לכן בכל משוואה לוגריתמית:

תחילה כותבים את תחום ההגדרה (כל ארגומנט חיובי).
פותרים באמצעות חוקי הלוגריתמים (למשל איחוד $lo g_{b} x + lo g_{b} y = lo g_{b} (x y)$ ).
בודקים כל פתרון מול תחום ההגדרה — פתרון שמכניס ארגומנט שלילי או אפס הוא פתרון זר ויש לדחותו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת בסיסים

פתרו $3^(x+1) = 81$ .

3^{x + 1} = 3^{4} \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3

שלב 1 — בסיס משותף

81 = 3^{4}

, ולכן

3^(x+1) = 3^{4}

דוגמה 2: מעבר ללוגריתם (בסיסים שאי אפשר להשוות)

פתרו $2^x = 10$ .

2^{x} = 10 \Rightarrow x = lo g_{2} 10 = \frac{l n 10}{l n 2} \approx 3.322

שלב 1 — אין בסיס משותף

10 אינו חזקה שלמה של 2, ולכן לא ניתן להשוות מעריכים ישירות.

דוגמה 3: משוואה לוגריתמית עם פתרון זר

פתרו $\log _{3} x + \log _{3}(x - 2) = 1$ .

lo g_{3} (x (x - 2)) = 1 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

שלב 1 — תחום הגדרה

דרושים

x > 0

וגם

x - 2 > 0

, כלומר

x > 2

בדיקה מהירה

פתרו את המשוואה הלוגריתמית $\log _{2} x = 4$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה $\log _{3} x + \log _{3}(x - 2) = 1$ . רשמו את הפתרון החוקי היחיד.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: החלפת משתנה

פתרו $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .

t = 2^{x} : t^{2} - 5 t + 4 = 0 \Rightarrow t \in {1, 4} \Rightarrow x \in {0, 2}

שלב 1 — מזהים מבנה ריבועי

4^x = (2^x)^{2}

. נציב

t = 2^x (

עם

t > 0): t^{2} - 5t + 4 = 0

דוגמה 5: אי-שוויונות — שמירה והיפוך של הכיוון

פתרו $2^x > 8$ ואת $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{8}$ .

2^{x} > 2^{3} \Rightarrow x > 3, (\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{3} \Rightarrow x > 3

שלב 1 — בסיס גדול מ-1 (עולה)

2^x > 2^{3}

. הפונקציה עולה ⟸ הכיוון נשמר:

x > 3

בדיקה מהירה

פתרו את אי-השוויון המעריכי $2^x > 8$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: פתרון אי-השוויון $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{8}$ הוא $x < 3$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: בעיה יישומית — דעיכה מעריכית (מעבר ללוגריתם)

כמות תרופה בדם דועכת לפי $N(t)=100 \cdot (0.5)^t (t$ בשעות). בעוד כמה שעות תרד הכמות ל-20 יחידות?

(0.5)^{t} = 0.2 \Rightarrow t = lo g_{0.5} 0.2 = \frac{l n 0.2}{l n 0.5} \approx 2.322

זוהי בדיוק הדרך שבה נשתמש בבעיות גדילה ודעיכה בהמשך הפרק.

שלב 1 — מציבים את המשוואה

100 \cdot (0.5)^t = 20 ⟸ (0.5)^t = 0.2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא בודקים תחום הגדרה ומקבלים פתרון זר

טעות: ב- $lo g_{3} x + lo g_{3} (x - 2) = 1$ מקבלים x=3 וגם x=-1 ומקבלים את שניהם.

נכון: התחום הוא x>2, ולכן x=-1 הוא פתרון זר ונדחה; נשאר x=3.

למה זה קורה?

פותרים את המשוואה האלגברית אך שוכחים שהלוגריתם דורש ארגומנט חיובי.

איך מתקנים?

תמיד רושמים את תחום ההגדרה בהתחלה, ובסוף פוסלים כל פתרון שמכניס ארגומנט שלילי או אפס.

טעות נפוצה: לא מהפכים את כיוון אי-השוויון כשהבסיס בין 0 ל-1

טעות: $(\frac{1}{2})^{x} < \frac{1}{8} \Rightarrow x < 3$ .

נכון: הבסיס $\frac{1}{2}$ יורד, ולכן $(\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{3} \Rightarrow x > 3$ .

למה זה קורה?

מתייחסים לכל הבסיסים כאל פונקציה עולה.

איך מתקנים?

לבסיס בין 0 ל-1 הפונקציה יורדת, ולכן במעבר בין המעריכים הכיוון מתהפך.

טעות נפוצה: מנסים להשוות מעריכים כשהבסיסים אינם ניתנים להשוואה

טעות: מנסים לכתוב $2^{x} = 10$ כחזקה שלמה של 2.

נכון: $x = lo g_{2} 10 \approx 3.322$ (מעבר ללוגריתם).

למה זה קורה?

חושבים שכל משוואה מעריכית נפתרת בהשוואת בסיסים.

איך מתקנים?

אם אי אפשר לכתוב אותו בסיס (כמו

2^x=10)

— לוקחים לוגריתם משני האגפים.

טעות נפוצה: שוכחים ש- $t = a^{x}$ חייב להיות חיובי בהחלפת משתנה

אם הצבת $t = 2^{x}$ נותנת t=-3 — פתרון זה נדחה, כי $2^{x} > 0$ לכל x.

למה זה קורה?

לאחר ההצבה מקבלים משוואה ריבועית ב-t, ושוכחים את האילוץ

t>0

איך מתקנים?

a^{x}>0

תמיד, ולכן פתרון

t \le 0

נדחה. רק ערכי t חיוביים מתורגמים בחזרה ל-x.

סיכום

מה למדנו?

משוואות ואי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים:

משוואה מעריכית: השוואת בסיסים, או מעבר ללוגריתם כשאין בסיס משותף, או החלפת משתנה $t = a^{x}$ (עם t>0).
משוואה לוגריתמית: רושמים תחום הגדרה, פותרים בעזרת חוקי לוגריתמים, ופוסלים פתרונות זרים.
אי-שוויון: משתמשים במונוטוניות — לבסיס >1 הכיוון נשמר, לבסיס 0<a<1 הכיוון מתהפך.

זכרו:

לוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי — בדקו פתרונות.
בסיס בין 0 ל-1 ⟸ הופכים את כיוון אי-השוויון.
$a^{x} > 0$ תמיד ⟸ בהחלפת משתנה דורשים t>0.

בכך השלמנו את התשתית האלגברית של חזקות ולוגריתמים — הכלים שישמשו בחקירת הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות ובבעיות היישומיות בהמשך הפרק.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משוואות ואי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים!

משוואות ואי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים

משוואות ואי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת בסיסים

פתרו 3(x+1)=813^(x+1) = 813(x+1)=81.

דוגמה 2: מעבר ללוגריתם (בסיסים שאי אפשר להשוות)

פתרו 2x=102^x = 102x=10.

דוגמה 3: משוואה לוגריתמית עם פתרון זר

פתרו log⁡3x+log⁡3(x−2)=1\log _{3} x + \log _{3}(x - 2) = 1log3​x+log3​(x−2)=1.

דוגמה 4: החלפת משתנה

פתרו 4x−5⋅2x+4=04^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 04x−5⋅2x+4=0.

דוגמה 5: אי-שוויונות — שמירה והיפוך של הכיוון

פתרו 2x>82^x > 82x>8 ואת (12)x<18(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{8}(21​)x<81​.

דוגמה 6: בעיה יישומית — דעיכה מעריכית (מעבר ללוגריתם)

כמות תרופה בדם דועכת לפי N(t)=100⋅(0.5)t(tN(t)=100 \cdot (0.5)^t (tN(t)=100⋅(0.5)t(t בשעות). בעוד כמה שעות תרד הכמות ל-20 יחידות?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא בודקים תחום הגדרה ומקבלים פתרון זר

טעות נפוצה: לא מהפכים את כיוון אי-השוויון כשהבסיס בין 0 ל-1

טעות נפוצה: מנסים להשוות מעריכים כשהבסיסים אינם ניתנים להשוואה

טעות נפוצה: שוכחים ש-t=axt = a^{x}t=ax חייב להיות חיובי בהחלפת משתנה

סיכום

תרגול נוסף

פתרו $3^(x+1) = 81$ .

פתרו $2^x = 10$ .

פתרו $\log _{3} x + \log _{3}(x - 2) = 1$ .

פתרו $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .

פתרו $2^x > 8$ ואת $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{8}$ .

כמות תרופה בדם דועכת לפי $N(t)=100 \cdot (0.5)^t (t$ בשעות). בעוד כמה שעות תרד הכמות ל-20 יחידות?

טעות נפוצה: שוכחים ש- $t = a^{x}$ חייב להיות חיובי בהחלפת משתנה