חוקי הלוגריתמים ומעבר בין בסיסים

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר לוגריתם כפעולה ההפוכה לחזקה: $lo g_{b} a = c ⟺ b^{c} = a$
להוכיח ולהפעיל את חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה, חזקה ושורש
להוכיח ולהשתמש בנוסחת המעבר בין בסיסים
לפשט ולחשב ביטויים לוגריתמיים — ולזהות פישוטים שגויים נפוצים

הרעיון המרכזי

הגדרת הלוגריתם

עבור בסיס $b > 0, b \neq = 1$ ועבור a>0: $lo g_{b} a = c ⟺ b^{c} = a$

כלומר, $lo g_{b} a$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את הבסיס b כדי לקבל את a. הלוגריתם הוא הפעולה ההפוכה לחזקה, ולכן מתקיימות הזהויות: $b^{l o g_{b} a} = a, lo g_{b} (b^{x}) = x$

ארבעת חוקי הלוגריתמים (מכפלה, מנה, חזקה, שורש)

לכל x,y>0 ולכל מעריך r:

מכפלה: $lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$
מנה: $lo g_{b} (\frac{x}{y}) = lo g_{b} x - lo g_{b} y$
חזקה: $lo g_{b} (x^{r}) = r lo g_{b} x$
שורש: $lo g_{b} (q x) = lo g_{b} (x^{1/ q}) = \frac{1}{q} lo g_{b} x$

חוק השורש הוא מקרה פרטי של חוק החזקה (כי שורש הוא חזקה עם מעריך רציונלי — בדיוק הקשר מהשיעור הקודם).

הוכחת חוקי המכפלה והחזקה

נסמן $m = lo g_{b} x$ ו- $n = lo g_{b} y$ , כלומר $x = b^{m}$ ו- $y = b^{n}$ .

מכפלה: לפי חוק החזקות, $x y = b^{m} \cdot b^{n} = b^{m + n}$ . לפי הגדרת הלוגריתם, $lo g_{b} (x y) = m + n = lo g_{b} x + lo g_{b} y$ . מ.ש.ל.

חזקה: $x^{r} = (b^{m})^{r} = b^{m r}$ , ולכן $lo g_{b} (x^{r}) = m r = r lo g_{b} x$ . מ.ש.ל. (חוק המנה מוכח באותו אופן עם $\frac{x}{y} = b^{m - n}$ .)

נוסחת המעבר בין בסיסים

כדי לבטא לוגריתם בבסיס b באמצעות לוגריתמים בבסיס אחר c: $lo g_{b} a = \frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b}$

הוכחה: נסמן $t = lo g_{b} a$ , כלומר $b^{t} = a$ . ניקח $lo g_{c}$ משני האגפים: $lo g_{c} (b^{t}) = lo g_{c} a$ , ולפי חוק החזקה $t lo g_{c} b = lo g_{c} a$ , ומכאן $t = \frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b}$ . מ.ש.ל.

שימו לב להבדל מהותי: $\frac{lo g a}{lo g b} = lo g_{b} a$ , אבל $lo g (\frac{a}{b}) = lo g a - lo g b$ — אלו שני דברים שונים לחלוטין.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב לוגריתם מההגדרה

חשבו $\log _{2} 8$ ו- $\log _{3} 27$ .

lo g_{2} 8 = 3 (כי 2^{3} = 8), lo g_{3} 27 = 3

שלב 1 — $\log _{2} 8$

מחפשים חזקה של 2 שתיתן 8. מאחר ש-

2^{3}=8

, מתקבל

\log _{2} 8 = 3

דוגמה 2: חוקי המכפלה והמנה

חשבו $\log _{3} 9 + \log _{3} 27$ ו- $\log _{2} 40 - \log _{2} 5$ .

lo g_{3} 9 + lo g_{3} 27 = lo g_{3} 243 = 5, lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5 = lo g_{2} 8 = 3

שלב 1 — חוק המכפלה

\log _{3} 9 + \log _{3} 27 = \log _{3}(9 \cdot 27) = \log _{3} 243 = \log _{3} 3^{5} = 5. (

או בנפרד:

2+3=5.)

בדיקה מהירה

איזה מהביטויים הבא שווה ל- $\log _b(x \cdot y) ($ עבור x,y חיוביים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את הערך של $\log _{2} 40 - \log _{2} 5$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חוק החזקה ופישוט מורכב

פשטו וחשבו: $2 \cdot \log _{3} 6 - \log _{3} 4$ .

2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{6 ^{2}}{4} = lo g_{3} 9 = 2

שלב 1 — חוק החזקה

מכניסים את המקדם 2 כמעריך:

2 \cdot \log _{3} 6 = \log _{3}(6^{2}) = \log _{3} 36

דוגמה 4: מעבר בין בסיסים

חשבו $\log _{8} 32$ באמצעות נוסחת המעבר.

lo g_{8} 32 = \frac{l o g _{2} 32}{l o g _{2} 8} = \frac{5}{3}

שלב 1 — בוחרים בסיס נוח

8 ו-32 שניהם חזקות של 2, לכן נעבור לבסיס

2: \log _{8} 32 = \frac{\log _{2} 32}{\log _{2} 8}

תשובה מספרית

באמצעות נוסחת המעבר בין בסיסים, חשבו את $\log _{8} 32$ . רשמו כשבר עשרוני מעוגל לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מכפלת לוגריתמים — צמצום באמצעות מעבר בסיס

חשבו $\log _{2} 5 \cdot \log _{5} 8$ .

lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 8 = lo g_{2} 5 \cdot \frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} 5} = lo g_{2} 8 = 3

זהו מקרה פרטי של הזהות $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ .

שלב 1 — מעבירים גורם אחד לבסיס 2

\log _{5} 8 = \frac{\log _{2} 8}{\log _{2} 5}

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: לכל a,b חיוביים מתקיים $\log _{10}(a+b) = \log _{10} a + \log _{10} b$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: ״מפרקים״ לוגריתם של סכום

טעות: $lo g_{10} (a + b) = lo g_{10} a + lo g_{10} b$ .

נכון (דוגמה נגדית, a=b=10): $lo g_{10} 20 \approx 1.301$ אך $lo g_{10} 10 + lo g_{10} 10 = 2$ . אינם שווים.

למה זה קורה?

מבלבלים בין חוק המכפלה (שמתייחס ל-

\log (a \cdot b))

לבין לוגריתם של סכום.

איך מתקנים?

אין חוק ל-

\log (a+b)

. חוק המכפלה הוא

\log (a \cdot b)=\log a+\log b

בלבד. בדקו עם דוגמה נגדית.

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\frac{\log a}{\log b}$ לבין $\log (\frac{a}{b})$

\frac{l o g a}{l o g b} = lo g_{b} a אבל lo g (\frac{a}{b}) = lo g a - lo g b

למה זה קורה?

שתי הנוסחאות נראות דומות אך מגיעות מחוקים שונים.

איך מתקנים?

נוסחת המעבר:

\frac{\log a}{\log b}=\log _b a (

חילוק). חוק המנה:

\log (\frac{a}{b})=\log a-\log b (

חיסור). אלו דברים שונים.

טעות נפוצה: מכניסים מקדם של לוגריתם לתוך הבסיס

טעות: $3 lo g_{2} 5 = lo g_{6} 5$ .

נכון: $3 lo g_{2} 5 = lo g_{2} (5^{3}) = lo g_{2} 125$ .

למה זה קורה?

חושבים שמקדם 3 שלפני

\log _{2}

הופך את הבסיס ל-6 או דומה.

איך מתקנים?

חוק החזקה מכניס את המקדם כמעריך של הארגומנט, לא של הבסיס:

3 \cdot \log _{2} 5=\log _{2}(5^{3})=\log _{2} 125

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה של הלוגריתם

lo g_{b} a מוגדר רק כאשר a > 0, b > 0, b \neq = 1

למה זה קורה?

מפעילים חוקי לוגריתמים על ביטויים בלי לוודא שהארגומנט חיובי.

איך מתקנים?

\log _b a

מוגדר רק עבור

a>0 (

ו-

b>0, b \ne 1)

. זה קריטי בהמשך — בפתרון משוואות לוגריתמיות בודקים שכל ארגומנט חיובי.

סיכום

מה למדנו?

חוקי הלוגריתמים ומעבר בין בסיסים:

הגדרה: $lo g_{b} a = c ⟺ b^{c} = a$ — הלוגריתם הפוך לחזקה.
מכפלה: $lo g_{b} (x y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y$ ; מנה: $lo g_{b} \frac{x}{y} = lo g_{b} x - lo g_{b} y$ .
חזקה: $lo g_{b} (x^{r}) = r lo g_{b} x$ ; שורש (מקרה פרטי): $lo g_{b} q x = \frac{1}{q} lo g_{b} x$ .
מעבר בסיס: $lo g_{b} a = \frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b}$ .

זכרו:

אין חוק ל- $lo g (a + b)$ .
$\frac{l o g a}{l o g b} = lo g_{b} a$ (חילוק) שונה מ- $lo g \frac{a}{b} = lo g a - lo g b$ (חיסור).
הלוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי — חשוב לפתרון משוואות בשיעור הבא.

בשיעור הבא נשתמש בכל אלה כדי לפתור משוואות ואי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חוקי הלוגריתמים ועל המעבר בין בסיסים!

חוקי הלוגריתמים ומעבר בין בסיסים

חוקי הלוגריתמים ומעבר בין בסיסים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב לוגריתם מההגדרה

חשבו log⁡28\log _{2} 8log2​8 ו-log⁡327\log _{3} 27log3​27.

דוגמה 2: חוקי המכפלה והמנה

חשבו log⁡39+log⁡327\log _{3} 9 + \log _{3} 27log3​9+log3​27 ו-log⁡240−log⁡25\log _{2} 40 - \log _{2} 5log2​40−log2​5.

דוגמה 3: חוק החזקה ופישוט מורכב

פשטו וחשבו: 2⋅log⁡36−log⁡342 \cdot \log _{3} 6 - \log _{3} 42⋅log3​6−log3​4.

דוגמה 4: מעבר בין בסיסים

חשבו log⁡832\log _{8} 32log8​32 באמצעות נוסחת המעבר.

דוגמה 5: מכפלת לוגריתמים — צמצום באמצעות מעבר בסיס

חשבו log⁡25⋅log⁡58\log _{2} 5 \cdot \log _{5} 8log2​5⋅log5​8.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: ״מפרקים״ לוגריתם של סכום

טעות נפוצה: מבלבלים בין log⁡alog⁡b\frac{\log a}{\log b}logbloga​ לבין log⁡(ab)\log (\frac{a}{b})log(ba​)

טעות נפוצה: מכניסים מקדם של לוגריתם לתוך הבסיס

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה של הלוגריתם

סיכום

תרגול נוסף

חשבו $\log _{2} 8$ ו- $\log _{3} 27$ .

חשבו $\log _{3} 9 + \log _{3} 27$ ו- $\log _{2} 40 - \log _{2} 5$ .

פשטו וחשבו: $2 \cdot \log _{3} 6 - \log _{3} 4$ .

חשבו $\log _{8} 32$ באמצעות נוסחת המעבר.

חשבו $\log _{2} 5 \cdot \log _{5} 8$ .

טעות נפוצה: מבלבלים בין $\frac{\log a}{\log b}$ לבין $\log (\frac{a}{b})$