חוקי חזקות ושורשים וחזקה עם מעריך רציונלי

מבוא

מטרות השיעור

לרענן ולבסס את חוקי החזקות (מכפלה, מנה, חזקת חזקה, מעריך אפס ומעריך שלילי)
לקשר בין שורשים לחזקות ולנסח את חוקי השורשים בשפת החזקות
להגדיר חזקה עם מעריך רציונלי: $x^{p / q} = q x^{p}$ כאשר $\frac{p}{q}$ שבר מצומצם עם מכנה חיובי
להבין את נקודת המפתח של התוכנית החדשה: פונקציית החזקה עם מעריך רציונלי מתלכדת עם פונקציית השורש המתאימה ויש להן אותו תחום הגדרה (למשל $x^{1/3} = 3 x$ מוגדרת לכל x)
לחשב ביטויי חזקה עם מעריכים רציונליים, כולל שליליים ושברים

הרעיון המרכזי

חוקי החזקות (תזכורת)

לכל בסיסים a,b (במגבלות ההגדרה) ולכל מעריכים m,n:

מכפלה באותו בסיס: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
מנה באותו בסיס: $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
חזקת חזקה: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$
חזקת מכפלה ומנה: $(ab)^{m} = a^{m} b^{m}$ , $(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a ^{m}}{b ^{m}}$
מעריך אפס ומעריך שלילי: $a^{0} = 1$ (עבור $a \neq = 0$ ), $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

אזהרה: החוקים האלה חלים על אותו בסיס — אין חוק שמאחד $2^{3} \cdot 3^{2}$ לכדי חזקה אחת.

הגדרת חזקה עם מעריך רציונלי

מרחיבים את מושג החזקה ממעריך שלם למעריך רציונלי באמצעות שורשים: $x^{1/ q} = q x, x^{p / q} = q x^{p} = (q x)^{p}$

כאשר $\frac{p}{q}$ הוא שבר מצומצם עם מכנה חיובי q. דרישת הצמצום חשובה: היא קובעת באופן יחיד את דרגת השורש q.

נקודת המפתח: התלכדות עם פונקציית השורש ותחום הגדרה משותף

לפי ההגדרה הזו, פונקציית החזקה עם מעריך רציונלי זהה לפונקציית השורש המתאימה, ויש להן אותו תחום הגדרה.

דוגמה מרכזית: $x^{1/3} = 3 x$ . השורש השלישי מוגדר לכל x ממשי — גם שלילי — ולכן $x^{1/3}$ מוגדרת לכל x. למשל $(- 8)^{1/3} = 3 - 8 = - 2$ .

זה שינוי מההגדרה הישנה, שלפיה חזקה עם מעריך רציונלי לא-שלם הוגדרה רק עבור בסיס אי-שלילי. בתוכנית הנוכחית אין צורך להעמיק בתחומי ההגדרה — פשוט מזהים שהחזקה היא בדיוק השורש המתאים, ותחום ההגדרה נקבע לפי דרגת השורש (מכנה אי-זוגי ⟸ כל הממשיים; מכנה זוגי ⟸ $x \geq 0$ ).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חוקי החזקות הבסיסיים

פשטו: $(2^{3} \cdot 2^{4})$ ו- $(\frac{x^{5}}{x^{2}})$ .

2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128, \frac{x ^{5}}{x ^{2}} = x^{3}

שלב 1 — מכפלה באותו בסיס

2^{3} \cdot 2^{4} = 2^(3+4) = 2^{7} = 128

. מחברים מעריכים, לא מכפילים.

דוגמה 2: חזקה עם מעריך רציונלי כשורש — ותחום ההגדרה

כתבו את $x^(\frac{1}{3})$ כשורש וקבעו את תחום ההגדרה.

x^{1/3} = 3 x, מוגדרת לכל x \in R, (- 8)^{1/3} = - 2

שלב 1 — מפעילים את ההגדרה

x^(\frac{1}{3}) = ^{3}\sqrt{x^{1}} = ∛x

. המכנה 3 הוא דרגת השורש.

בדיקה מהירה

לפי ההגדרה $x^(\frac{p}{q})=⁠q\sqrt{x^p} ($ שבר מצומצם, מכנה חיובי), כיצד נכתוב את $x^(\frac{1}{3})$ כשורש, ומהו תחום ההגדרה של הפונקציה המתקבלת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חישוב חזקה עם מעריך שבר

חשבו $8^(\frac{2}{3})$ ו- $16^(-\frac{3}{4})$ .

8^{2/3} = (38)^{2} = 4, 1 6^{- 3/4} = \frac{1}{( 4 16 ) ^{3}} = \frac{1}{8}

שלב 1 — $8^(\frac{2}{3})$

8^(\frac{2}{3}) = (∛8)^{2} = 2^{2} = 4

. נוח לחשב את השורש קודם ואז להעלות בחזקה.

תשובה מספרית

חשבו את הערך של $8^(\frac{2}{3})$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: לצמצם את השבר לפני קביעת דרגת השורש

חשבו $(-8)^(\frac{2}{6})$ . מדוע חובה לצמצם תחילה?

(- 8)^{2/6} = (- 8)^{1/3} = 3 - 8 = - 2

שלב 1 — מצמצמים את המעריך

ההגדרה דורשת שבר מצומצם:

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

בדיקה מהירה

מהו הערך של $(-8)^(\frac{2}{6})? ($ שימו לב: יש לצמצם את השבר במעריך לפני קביעת דרגת השורש.)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: כפל חזקות עם מעריכים רציונליים

פשטו $x^(\frac{1}{2}) \cdot x^(\frac{1}{3})$ לחזקה אחת של x.

x^{1/2} \cdot x^{1/3} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = x^{5/6} = 6 x^{5}

שלב 1 — אותו בסיס בכפל

מחברים את המעריכים:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חשבו את הערך של $16^(-\frac{3}{4})$ . רשמו כשבר עשרוני.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש- $x^(\frac{1}{3})$ מוגדרת רק עבור $x \ge 0$

טעות: "תחום ההגדרה של $x^{1/3}$ הוא $x \geq 0$ ."

נכון: $x^{1/3} = 3 x$ מוגדרת לכל $x \in R$ .

למה זה קורה?

זוכרים את ההגדרה הישנה, שלפיה מעריך רציונלי דרש בסיס אי-שלילי.

איך מתקנים?

בתוכנית החדשה

x^(\frac{1}{3})=∛x

מוגדרת לכל x ממשי. שורש בעל מכנה אי-זוגי מוגדר גם לשליליים:

(-8)^(\frac{1}{3})=-2

טעות נפוצה: מחברים מעריכים בכפל של בסיסים שונים

טעות: $2^{3} \cdot 3^{2} = 6^{5}$ .

נכון: $2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ .

למה זה קורה?

מיישמים את הכלל

a^m \cdot a^n=a^(m+n)

גם כשהבסיסים אינם שווים.

איך מתקנים?

הכלל חל רק על אותו בסיס. את

2^{3} \cdot 3^{2}

מחשבים בנפרד:

8 \cdot 9=72

, ואין דרך לאחדו לחזקה אחת פשוטה.

טעות נפוצה: לא מצמצמים את השבר במעריך לפני קביעת דרגת השורש

טעות: $(- 8)^{2/6} = 6 (- 8)^{2} = 664 = 2$ .

נכון: $(- 8)^{2/6} = (- 8)^{1/3} = 3 - 8 = - 2$ .

למה זה קורה?

מתייחסים ל-

\frac{2}{6}

כמכנה 6 (שורש שישי) במקום לצמצם ל-

\frac{1}{3}

איך מתקנים?

ההגדרה דורשת שבר מצומצם. תחילה מצמצמים:

x^(\frac{2}{6})=x^(\frac{1}{3})=∛x

. עבור בסיס שלילי זה משנה את התוצאה.

טעות נפוצה: מכפילים מעריכים במקום לחבר (או להפך)

2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128 אבל (2^{3})^{4} = 2^{12}

למה זה קורה?

בלבול בין חזקת חזקה (כפל) למכפלת חזקות (חיבור).

איך מתקנים?

כפל באותו בסיס ⟸ מחברים מעריכים:

2^{3} \cdot 2^{4}=2^{7}

. חזקת חזקה ⟸ מכפילים:

(2^{3})^{4}=2^{12}

סיכום

מה למדנו?

חוקי חזקות ושורשים וחזקה עם מעריך רציונלי:

חוקי החזקות (מכפלה, מנה, חזקת חזקה, מעריך אפס ושלילי) חלים על אותו בסיס.
הגדרת חזקה עם מעריך רציונלי: $x^{p / q} = q x^{p}$ , כאשר $\frac{p}{q}$ שבר מצומצם עם מכנה חיובי.
נקודת המפתח: החזקה מתלכדת עם פונקציית השורש המתאימה ובעלת אותו תחום הגדרה. $x^{1/3} = 3 x$ מוגדרת לכל x.
מעריך שלילי הופך למכנה: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ ; ולחישוב נוח, מפעילים את השורש לפני ההעלאה בחזקה.

זכרו:

מצמצמים את השבר במעריך לפני קביעת דרגת השורש.
שורש עם מכנה אי-זוגי מוגדר גם למספרים שליליים.

בשיעור הבא נגדיר את הלוגריתם כפעולה ההפוכה לחזקה, ונוכיח את חוקיו.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חוקי החזקות והשורשים ועל חזקה עם מעריך רציונלי!

חוקי חזקות ושורשים וחזקה עם מעריך רציונלי

חוקי חזקות ושורשים וחזקה עם מעריך רציונלי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חוקי החזקות הבסיסיים

פשטו: (23⋅24)(2^{3} \cdot 2^{4})(23⋅24) ו-(x5x2)(\frac{x^{5}}{x^{2}})(x2x5​).

דוגמה 2: חזקה עם מעריך רציונלי כשורש — ותחום ההגדרה

כתבו את x(13)x^(\frac{1}{3})x(31​) כשורש וקבעו את תחום ההגדרה.

דוגמה 3: חישוב חזקה עם מעריך שבר

חשבו 8(23)8^(\frac{2}{3})8(32​) ו-16(−34)16^(-\frac{3}{4})16(−43​).

דוגמה 4: לצמצם את השבר לפני קביעת דרגת השורש

חשבו (−8)(26)(-8)^(\frac{2}{6})(−8)(62​). מדוע חובה לצמצם תחילה?

דוגמה 5: כפל חזקות עם מעריכים רציונליים

פשטו x(12)⋅x(13)x^(\frac{1}{2}) \cdot x^(\frac{1}{3})x(21​)⋅x(31​) לחזקה אחת של x.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש-x(13)x^(\frac{1}{3})x(31​) מוגדרת רק עבור x≥0x \ge 0x≥0

טעות נפוצה: מחברים מעריכים בכפל של בסיסים שונים

טעות נפוצה: לא מצמצמים את השבר במעריך לפני קביעת דרגת השורש

טעות נפוצה: מכפילים מעריכים במקום לחבר (או להפך)

סיכום

תרגול נוסף

פשטו: $(2^{3} \cdot 2^{4})$ ו- $(\frac{x^{5}}{x^{2}})$ .

כתבו את $x^(\frac{1}{3})$ כשורש וקבעו את תחום ההגדרה.

חשבו $8^(\frac{2}{3})$ ו- $16^(-\frac{3}{4})$ .

חשבו $(-8)^(\frac{2}{6})$ . מדוע חובה לצמצם תחילה?

פשטו $x^(\frac{1}{2}) \cdot x^(\frac{1}{3})$ לחזקה אחת של x.

טעות נפוצה: חושבים ש- $x^(\frac{1}{3})$ מוגדרת רק עבור $x \ge 0$