חישובי שטחים ונפחים במרחב — גופים מורכבים ולא-ישרים

30%
📖שיעור
55 דקות

חישובי שטחים ונפחים במרחב — גופים מורכבים ולא-ישרים

נשלב כמה משפטים וטריגונומטריה לחישוב שטחים ונפחים בגופים שונים: גופים משופעים (עקרון קוואליירי), גופים מורכבים (חיבור וחיסור) וגופים קטומים, ונשתמש ביחסי דמיון k2k^{2} לשטחים ו-k3k^{3} לנפחים.

חישובי שטחים ונפחים במרחב — גופים מורכבים ולא-ישרים

מבוא

מטרות השיעור

  • לחשב נפח של גוף משופע (לא-ישר) באמצעות הגובה הניצב — עקרון קוואליירי
  • לחשב שטחים ונפחים של גופים מורכבים על ידי חיבור או חיסור גופים פשוטים
  • לחשב נפח של גוף קטום (חרוט/פירמידה) כהפרש של גופים דומים
  • ליישם יחסי דמיון: שטחים ביחס , נפחים ביחס
  • לשלב כמה משפטים מגאומטריית המרחב בבעיה אחת

הרעיון המרכזי

עקרון קוואליירי — נפח גוף משופע

הנפח של מנסרה או גליל אינו תלוי בשאלה אם הגוף ישר או משופע — הוא תלוי רק בשטח הבסיס ובגובה הניצב (המרחק האנכי בין מישורי הבסיסים):

אם נתון אורך המקצוע הצדדי e והזווית שהוא יוצר עם הבסיס, הגובה הניצב הוא אזהרה: אסור להציב את אורך המקצוע e במקום הגובה H בנוסחת הנפח.

גופים מורכבים — חיבור וחיסור

גוף מורכב נבנה משילוב של גופים פשוטים:

  • חיבור: כשגוף אחד מונח על משנהו (למשל גליל + חצי-כדור), מחברים נפחים. בשטח הפנים סוכמים רק את השטחים החשופים (לא את שטח ההדבקה).
  • חיסור: כשמסירים גוף מתוך גוף (למשל חור גלילי בקובייה, או גוף קטום), מחסרים נפחים.

גוף קטום ויחסי דמיון

כשחותכים חרוט או פירמידה במישור מקביל לבסיס, הגוף הקטן שבראש דומה לגוף המקורי. אם החיתוך בוצע בגובה יחסי k מהקדקוד, אז יחס הדמיון הלינארי הוא k, ולכן:

נפח הגוף הקטום הוא

באופן כללי: בכל שני גופים דומים יחס האורכים k נותן יחס שטחים ויחס נפחים .


דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נפח מנסרה משופעת (קוואליירי)

מנסרה משופעת, שטח בסיס 24 סמ״ר, מקצוע צדדי 10 ס״מ היוצר 3030^{\circ} עם הבסיס. מצאו את הנפח.

1

שלב 1 — הגובה הניצב

הגובה הוא ההיטל האנכי של המקצוע: H=10sin(30)=1012=5H = 10 \cdot \sin (30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 ס״מ.
תשובה מספרית

מנסרה משופעת (לא ישרה) ששטח בסיסה 24 סמ"ר. אורך המקצוע הצדדי הוא 10 ס"מ, והוא יוצר עם מישור הבסיס זווית של 3030^{\circ}. חשבו את נפח המנסרה (בסמ"ק).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמה 2: יחס נפחים בין גופים דומים

שני חרוטים דומים ביחס לינארי 1:3. נפח הקטן 5 סמ״ק. מצאו את נפח הגדול.

1

שלב 1 — יחס הנפחים

יחס הנפחים = (יחס לינארי)3=(1:3)3=1:27^{3} = (1:3)^{3} = 1:27.
תשובה מספרית

שני חרוטים דומים. יחס הדמיון הלינארי ביניהם הוא 1:3. נפח החרוט הקטן הוא 5 סמ"ק. חשבו את נפח החרוט הגדול (בסמ"ק).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמה 3: נפח חרוט קטום (חיסור גופים דומים)

חרוט ישר r=6,h=12r = 6, h = 12 נחתך בחצי הגובה; מסירים את החרוט שבראש. מצאו את נפח הקטום.

1

שלב 1 — נפח החרוט המלא

V=(13)π6212=(13)π432=144πV = (\frac{1}{3}) \cdot \pi \cdot 6^{2} \cdot 12 = (\frac{1}{3}) \cdot \pi \cdot 432 = 144\pi.
תשובה מספרית

חרוט ישר שרדיוסו 6 ס"מ וגובהו 12 ס"מ. חותכים אותו במישור המקביל לבסיס בגובה חצי הגובה, ומסירים את החרוט הקטן שבראש. חשבו את נפח החרוט הקטום שנותר (בסמ"ק). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמה 4: כדור חסום בחרוט (שילוב משפטים)

כדור חסום בחרוט ישר (r=6,h=8)(r = 6, h = 8), משיק למעטפת ולבסיס. מצאו את רדיוס הכדור.

1

שלב 1 — לחתך הצירי

החתך הצירי הוא משולש שווה-שוקיים: בסיס 2r=122r = 12, גובה 8, שוקיים l=62+82=10l = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10. הכדור הופך למעגל החסום.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

כדור חסום בתוך חרוט ישר (משיק למעטפת ולבסיס). רדיוס בסיס החרוט הוא 6 ס"מ וגובהו 8 ס"מ. חשבו את רדיוס הכדור החסום (בס"מ).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים באורך המקצוע במקום בגובה הניצב בגוף משופע

טעות: .

נכון: .

למה זה קורה?

בגוף ישר המקצוע שווה לגובה, ומעתיקים זאת בטעות לגוף משופע.

איך מתקנים?

בגוף משופע הגובה הניצב קצר מהמקצוע: H=esin(α)H = e \cdot \sin (\alpha ). רק H נכנס לנוסחת הנפח.

טעות נפוצה: מחילים יחס דמיון לינארי ישירות על נפח או שטח

ביחס לינארי 1:3: הנפחים ביחס 1:27 ולא 1:3.

למה זה קורה?

שוכחים שנפח ושטח אינם גדלים באותו קצב כמו אורך.

איך מתקנים?

יחס אורכים k ⟸ יחס שטחים k2k^{2}, יחס נפחים k3k^{3}. תמיד מעלים בריבוע (שטח) או בחזקה שלישית (נפח).

טעות נפוצה: מחסרים ממדים לינאריים במקום נפחים בגוף קטום

נכון: , כששניהם מחושבים בנוסחת הנפח המלאה.

למה זה קורה?

חושבים שאפשר 'להחסיר את הגובה הקטן' ולקבל את נפח הקטום ישירות.

איך מתקנים?

נפח קטום = נפח הגוף המלא פחות נפח הגוף הקטן הדומה. מחשבים כל נפח בנפרד ואז מחסרים.

טעות נפוצה: סופרים את שטח ההדבקה בשטח פנים של גוף מורכב

בגליל עם חצי-כדור: מוסיפים (כיפת חצי-הכדור) ולא , ולא סופרים את עיגול ההדבקה.

למה זה קורה?

מחברים את שטחי הפנים של שני הגופים במלואם.

איך מתקנים?

בגוף מורכב סוכמים רק את השטחים החשופים. השטח שבו שני הגופים נדבקים אינו חלק מפני הגוף.

סיכום

מה למדנו?

חישובי שטחים ונפחים במרחב:

  1. קוואליירי: נפח גוף משופע = שטח בסיס × גובה ניצב , לא אורך המקצוע.
  2. גופים מורכבים: מחברים/מחסרים נפחים; בשטח פנים סוכמים רק שטחים חשופים.
  3. גוף קטום: , כשהקטן דומה למלא.
  4. דמיון: אורכים k ⟸ שטחים ⟸ נפחים .
  5. בעיות רבות פותרים דרך החתך הצירי ושילוב משפטים (כמו מעגל חסום במשולש עבור כדור חסום בחרוט).

זכרו: שרטטו, פרקו את הגוף המורכב לגופים מוכרים, וזהו את יחס הדמיון לפני שמחילים אותו.

בכך השלמנו את היחידה — שילוב גאומטריית המרחב עם הטריגונומטריה לפתרון בעיות מרחביות מלאות.


תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גופים משופעים, מורכבים, קטומים ויחסי דמיון!

תרגול