חישובי שטחים ונפחים במרחב — גופים מורכבים ולא-ישרים
מבוא
מטרות השיעור
- לחשב נפח של גוף משופע (לא-ישר) באמצעות הגובה הניצב — עקרון קוואליירי
- לחשב שטחים ונפחים של גופים מורכבים על ידי חיבור או חיסור גופים פשוטים
- לחשב נפח של גוף קטום (חרוט/פירמידה) כהפרש של גופים דומים
- ליישם יחסי דמיון: שטחים ביחס , נפחים ביחס
- לשלב כמה משפטים מגאומטריית המרחב בבעיה אחת
הרעיון המרכזי
עקרון קוואליירי — נפח גוף משופע
הנפח של מנסרה או גליל אינו תלוי בשאלה אם הגוף ישר או משופע — הוא תלוי רק בשטח הבסיס ובגובה הניצב (המרחק האנכי בין מישורי הבסיסים):
אם נתון אורך המקצוע הצדדי e והזווית שהוא יוצר עם הבסיס, הגובה הניצב הוא אזהרה: אסור להציב את אורך המקצוע e במקום הגובה H בנוסחת הנפח.
גופים מורכבים — חיבור וחיסור
גוף מורכב נבנה משילוב של גופים פשוטים:
- חיבור: כשגוף אחד מונח על משנהו (למשל גליל + חצי-כדור), מחברים נפחים. בשטח הפנים סוכמים רק את השטחים החשופים (לא את שטח ההדבקה).
- חיסור: כשמסירים גוף מתוך גוף (למשל חור גלילי בקובייה, או גוף קטום), מחסרים נפחים.
גוף קטום ויחסי דמיון
כשחותכים חרוט או פירמידה במישור מקביל לבסיס, הגוף הקטן שבראש דומה לגוף המקורי. אם החיתוך בוצע בגובה יחסי k מהקדקוד, אז יחס הדמיון הלינארי הוא k, ולכן:
נפח הגוף הקטום הוא
באופן כללי: בכל שני גופים דומים יחס האורכים k נותן יחס שטחים ויחס נפחים .
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: נפח מנסרה משופעת (קוואליירי)
מנסרה משופעת, שטח בסיס 24 סמ״ר, מקצוע צדדי 10 ס״מ היוצר עם הבסיס. מצאו את הנפח.
שלב 1 — הגובה הניצב
מנסרה משופעת (לא ישרה) ששטח בסיסה 24 סמ"ר. אורך המקצוע הצדדי הוא 10 ס"מ, והוא יוצר עם מישור הבסיס זווית של . חשבו את נפח המנסרה (בסמ"ק).
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 2: יחס נפחים בין גופים דומים
שני חרוטים דומים ביחס לינארי 1:3. נפח הקטן 5 סמ״ק. מצאו את נפח הגדול.
שלב 1 — יחס הנפחים
שני חרוטים דומים. יחס הדמיון הלינארי ביניהם הוא 1:3. נפח החרוט הקטן הוא 5 סמ"ק. חשבו את נפח החרוט הגדול (בסמ"ק).
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 3: נפח חרוט קטום (חיסור גופים דומים)
חרוט ישר נחתך בחצי הגובה; מסירים את החרוט שבראש. מצאו את נפח הקטום.
שלב 1 — נפח החרוט המלא
חרוט ישר שרדיוסו 6 ס"מ וגובהו 12 ס"מ. חותכים אותו במישור המקביל לבסיס בגובה חצי הגובה, ומסירים את החרוט הקטן שבראש. חשבו את נפח החרוט הקטום שנותר (בסמ"ק). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.
סטייה מותרת: ±0.5
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 4: כדור חסום בחרוט (שילוב משפטים)
כדור חסום בחרוט ישר , משיק למעטפת ולבסיס. מצאו את רדיוס הכדור.
שלב 1 — לחתך הצירי
בדיקה מהירה
כדור חסום בתוך חרוט ישר (משיק למעטפת ולבסיס). רדיוס בסיס החרוט הוא 6 ס"מ וגובהו 8 ס"מ. חשבו את רדיוס הכדור החסום (בס"מ).
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: משתמשים באורך המקצוע במקום בגובה הניצב בגוף משופע
טעות: .
נכון: .
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מחילים יחס דמיון לינארי ישירות על נפח או שטח
ביחס לינארי 1:3: הנפחים ביחס 1:27 ולא 1:3.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מחסרים ממדים לינאריים במקום נפחים בגוף קטום
נכון: , כששניהם מחושבים בנוסחת הנפח המלאה.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: סופרים את שטח ההדבקה בשטח פנים של גוף מורכב
בגליל עם חצי-כדור: מוסיפים (כיפת חצי-הכדור) ולא , ולא סופרים את עיגול ההדבקה.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
חישובי שטחים ונפחים במרחב:
- קוואליירי: נפח גוף משופע = שטח בסיס × גובה ניצב , לא אורך המקצוע.
- גופים מורכבים: מחברים/מחסרים נפחים; בשטח פנים סוכמים רק שטחים חשופים.
- גוף קטום: , כשהקטן דומה למלא.
- דמיון: אורכים k ⟸ שטחים ⟸ נפחים .
- בעיות רבות פותרים דרך החתך הצירי ושילוב משפטים (כמו מעגל חסום במשולש עבור כדור חסום בחרוט).
זכרו: שרטטו, פרקו את הגוף המורכב לגופים מוכרים, וזהו את יחס הדמיון לפני שמחילים אותו.
בכך השלמנו את היחידה — שילוב גאומטריית המרחב עם הטריגונומטריה לפתרון בעיות מרחביות מלאות.
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן על גופים משופעים, מורכבים, קטומים ויחסי דמיון!