טריגונומטריה בגופי סיבוב: גליל, חרוט וכדור

מבוא

מטרות השיעור

לזהות את החתך הצירי של גליל ישר ושל חרוט ישר ואת המשולש ישר-הזווית שבתוכו
לחשב בחרוט את הקשר בין הרדיוס r, הגובה h והקו היוצר l ולמצוא זוויות בעזרת $sin, cos, tan$
לחשב מעטפת, שטח פנים ונפח של גליל, חרוט וכדור
לזהות בכדור את המשולש ישר-הזווית הנוצר ממרכז הכדור, ממרכז מעגל החתך ומנקודה על שפתו

הרעיון המרכזי

החתך הצירי — הכלי המרכזי

כדי לתרגם בעיה מרחבית בגוף סיבוב לבעיה במישור, חותכים את הגוף במישור העובר דרך ציר הסיבוב. החתך המתקבל נקרא החתך הצירי:

בגליל ישר — החתך הוא מלבן שצלעותיו הקוטר 2r והגובה h.
בחרוט ישר — החתך הוא משולש שווה-שוקיים שבסיסו הקוטר 2r, שתי שוקיו הם הקו היוצר l, וגובהו לבסיס הוא גובה החרוט h.

בתוך החתך הצירי מסתתר המשולש ישר-הזווית שכל החישובים נשענים עליו.

המשולש ישר-הזווית של החרוט

הורידו את גובה החרוט אל מרכז הבסיס. נוצר משולש ישר-זווית שצלעותיו:

ניצב אחד: הרדיוס r
ניצב שני: הגובה h
יתר: הקו היוצר l

לכן לפי פיתגורס $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ . אם $α$ היא הזווית בין הקו היוצר למישור הבסיס (הזווית שמול הגובה), אז $sin α = \frac{h}{l}, cos α = \frac{r}{l}, tan α = \frac{h}{r}$

נוסחאות שטח ונפח (גופי סיבוב)

גליל ישר (רדיוס r, גובה h): $S_{מעטפת} = 2 π r h, S_{פנים} = 2 π r h + 2 π r^{2}, V = π r^{2} h$

חרוט ישר (רדיוס r, גובה h, יוצר l): $S_{מעטפת} = π r l, S_{פנים} = π r l + π r^{2}, V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

כדור (רדיוס R): $S = 4 π R^{2}, V = \frac{4}{3} π R^{3}$

שימו לב: בנפח החרוט מופיע הגובה h, ובמעטפת מופיע הקו היוצר l — אל תחליפו ביניהם.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת גובה חרוט מזווית

בחרוט ישר הקו היוצר $l = 10$ ס״מ, והזווית בין היוצר לבסיס היא $60^{\circ}$ . מצאו את הגובה h.

h = l sin 6 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53 \approx 8.66

שלב 1 — מזהים את המשולש

במשולש ישר-הזווית (r, h, l) הזווית בין היוצר לבסיס נמצאת מול הגובה h, והיתר הוא l.

תשובה מספרית

בחרוט ישר אורך הקו היוצר הוא $l = 10$ ס"מ, והזווית בין הקו היוצר למישור הבסיס היא $60^{\circ}$ . חשבו את גובה החרוט h (בס"מ). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מעטפת חרוט דרך פיתגורס

בחרוט ישר $r = 6$ ס״מ $, h = 8$ ס״מ. מצאו את שטח המעטפת.

l = 6^{2} + 8^{2} = 10, S = π r l = π \cdot 6 \cdot 10 = 60 π \approx 188.50

שלב 1 — מוצאים את היוצר

לפי פיתגורס

l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

ס״מ.

תשובה מספרית

בחרוט ישר רדיוס הבסיס הוא $r = 6$ ס"מ והגובה $h = 8$ ס"מ. חשבו את שטח המעטפת של החרוט (בסמ"ר). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.2

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חתך מעגלי בכדור

כדור ברדיוס $R = 17$ ס״מ נחתך במישור במרחק 8 ס״מ מהמרכז. מצאו את רדיוס מעגל החתך.

ρ = R^{2} - d^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 225 = 15

שלב 1 — בונים את המשולש

מרכז הכדור O, מרכז מעגל החתך M, ונקודה A על שפת המעגל. הקטע OM ניצב למישור החתך, לכן הזווית ב-M ישרה.

תשובה מספרית

כדור שרדיוסו $R = 17$ ס"מ נחתך על ידי מישור הנמצא במרחק 8 ס"מ ממרכז הכדור. חשבו את רדיוס מעגל החתך (בס"מ).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: נפח חרוט מזווית עם הציר

בחרוט ישר הזווית בין היוצר לציר (לגובה) היא $30^{\circ}$ , והגובה $h = 12$ ס״מ. מצאו את הנפח.

r = h tan 3 0^{\circ} = 43, V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 48 \cdot 12 = 192 π \approx 603.19

שלב 1 — איזו צלע מול הזווית?

הזווית בין היוצר לציר נמצאת בקדקוד, מול הרדיוס r ולצד הגובה h.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בחרוט ישר הזווית בין הקו היוצר לבין ציר הסיבוב (הגובה) היא $30^{\circ}$ , והגובה הוא $h = 12$ ס"מ. חשבו את נפח החרוט (בסמ"ק). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין הקו היוצר l לגובה h

טעות: $V = \frac{1}{3} π r^{2} l$ .

נכון: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ והמעטפת היא $π r l$ .

למה זה קורה?

שתי הצלעות יוצאות מאזור הקדקוד ונראות דומה בשרטוט.

איך מתקנים?

בנפח החרוט תמיד מופיע הגובה h (הניצב למישור הבסיס); במעטפת תמיד מופיע הקו היוצר l (היתר). זהו תחילה את המשולש (r, h, l).

טעות נפוצה: שמים רדיוס במקום קוטר בחתך הצירי

אלכסון החתך הצירי של גליל הוא $(2 r)^{2} + h^{2}$ ולא $r^{2} + h^{2}$ .

למה זה קורה?

שוכחים שרוחב החתך הצירי הוא הקוטר 2r ולא הרדיוס.

איך מתקנים?

בחתך הצירי של גליל או חרוט, הצלע האופקית המלאה היא הקוטר 2r. המשולש ישר-הזווית מכיל רק חצי ממנו — את הרדיוס r.

טעות נפוצה: מבלבלים את הזווית עם הבסיס בזווית עם הציר

אם הזווית עם הבסיס היא $α$ , הזווית עם הציר היא $9 0^{\circ} - α$ .

למה זה קורה?

לא שמים לב מול איזו צלע נמצאת הזווית הנתונה.

איך מתקנים?

הזווית בין היוצר לבסיס נמצאת מול הגובה

(\sin = \frac{h}{l})

. הזווית בין היוצר לציר נמצאת מול הרדיוס

(\sin = \frac{r}{l})

. שתי הזוויות משלימות זו את זו ל-

90^{\circ}

טעות נפוצה: חושבים שרדיוס מעגל החתך בכדור שווה לרדיוס הכדור

במרחק d>0 מהמרכז מתקיים $ρ = R^{2} - d^{2} < R$ .

למה זה קורה?

מתעלמים מהמרחק בין המרכז למישור החתך.

איך מתקנים?

רק חתך העובר דרך מרכז הכדור (מעגל גדול) נותן רדיוס R. בכל חתך אחר רדיוס החתך קטן יותר:

\rho = \sqrt{R^{2} - d^{2}}

סיכום

מה למדנו?

טריגונומטריה בגופי סיבוב:

החתך הצירי הופך בעיה מרחבית לבעיה מישורית: מלבן $2 r \times h$ בגליל, משולש שווה-שוקיים בחרוט.
בחרוט המשולש ישר-הזווית הוא (r,h,l) עם $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ , וממנו מחשבים זוויות ב- $sin, cos, tan$ .
נוסחאות: גליל $V = π r^{2} h$ , חרוט $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ ומעטפת $π r l$ , כדור $S = 4 π R^{2}, V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .
בכדור: $ρ = R^{2} - d^{2}$ לרדיוס מעגל חתך במרחק d מהמרכז.

זכרו: הקוטר (לא הרדיוס) הוא הצלע האופקית בחתך הצירי, והגובה (לא היוצר) נכנס לנוסחת הנפח.

בשיעור הבא נעבור למנסרות ולפירמידות ישרות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי המשולש ישר-הזווית בגליל, בחרוט ובכדור!

טריגונומטריה בגופי סיבוב: גליל, חרוט וכדור

טריגונומטריה בגופי סיבוב: גליל, חרוט וכדור

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת גובה חרוט מזווית

בחרוט ישר הקו היוצר l=10l = 10l=10 ס״מ, והזווית בין היוצר לבסיס היא 60∘60^{\circ}60∘. מצאו את הגובה h.

דוגמה 2: מעטפת חרוט דרך פיתגורס

בחרוט ישר r=6r = 6r=6 ס״מ,h=8, h = 8,h=8 ס״מ. מצאו את שטח המעטפת.

דוגמה 3: חתך מעגלי בכדור

כדור ברדיוס R=17R = 17R=17 ס״מ נחתך במישור במרחק 8 ס״מ מהמרכז. מצאו את רדיוס מעגל החתך.

דוגמה 4: נפח חרוט מזווית עם הציר

בחרוט ישר הזווית בין היוצר לציר (לגובה) היא 30∘30^{\circ}30∘, והגובה h=12h = 12h=12 ס״מ. מצאו את הנפח.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין הקו היוצר l לגובה h

טעות נפוצה: שמים רדיוס במקום קוטר בחתך הצירי

טעות נפוצה: מבלבלים את הזווית עם הבסיס בזווית עם הציר

טעות נפוצה: חושבים שרדיוס מעגל החתך בכדור שווה לרדיוס הכדור

סיכום

תרגול נוסף

בחרוט ישר הקו היוצר $l = 10$ ס״מ, והזווית בין היוצר לבסיס היא $60^{\circ}$ . מצאו את הגובה h.

בחרוט ישר $r = 6$ ס״מ $, h = 8$ ס״מ. מצאו את שטח המעטפת.

כדור ברדיוס $R = 17$ ס״מ נחתך במישור במרחק 8 ס״מ מהמרכז. מצאו את רדיוס מעגל החתך.

בחרוט ישר הזווית בין היוצר לציר (לגובה) היא $30^{\circ}$ , והגובה $h = 12$ ס״מ. מצאו את הנפח.