מערכת צירים והצגה אלגברית של וקטורים במרחב

מבוא

עד כה עבדנו עם וקטורים בשפה גאומטרית — חצים בעלי גודל וכיוון. כעת נצרף להם מערכת צירים ונתרגם כל וקטור למספרים. ברגע שווקטור הופך לשלשה של רכיבים, כל פעולה גאומטרית — חיבור, אורך, ניצבות, חלוקת קטע — הופכת לחישוב אלגברי מדויק. זהו הבסיס לכל מה שנבנה בפרק: ישרים, מישורים, מרחקים וזוויות.

מטרות השיעור

להציג כל וקטור במרחב כשלשה סדורה של רכיבים (x, y, z)
לבצע חיבור, חיסור וכפל בסקלר באופן אלגברי
לחשב את אורך הווקטור (הנורמה) ואת המרחק בין שתי נקודות
למצוא אמצע קטע ולחלק קטע ביחס נתון
להגדיר את המכפלה הסקלרית $u \cdot v$ ולהשתמש בה לבדיקת ניצבות

הרעיון המרכזי

נקודה מול וקטור

במערכת צירים במרחב לכל נקודה שלוש קואורדינטות $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ . וקטור המקום של הנקודה הוא הווקטור שזנבו בראשית O וראשו ב-A, ורכיביו זהים לקואורדינטות: $O A = (x_{A}, y_{A}, z_{A})$

חשוב להבחין: נקודה היא מיקום, וקטור הוא היסט (גודל וכיוון). הם נכתבים באותם מספרים, אך לא מחברים נקודות זו לזו — מחברים וקטורים.

הווקטור בין שתי נקודות, ופעולות אלגבריות

הווקטור מ-A ל-B הוא ראש פחות זנב: $A B = B - A = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A})$

חיבור וחיסור מתבצעים רכיב ברכיב, וכפל בסקלר מכפיל כל רכיב: $u \pm v = (u_{1} \pm v_{1}, u_{2} \pm v_{2}, u_{3} \pm v_{3})$ $t u = (t u_{1}, t u_{2}, t u_{3})$

אורך (נורמה) ומרחק בין נקודות

אורך הווקטור $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ הוא לפי משפט פיתגורס במרחב: $∣ u ∣ = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$

המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הווקטור שביניהן: $∣ A B ∣ = ∣ A B ∣ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$

אמצע קטע וחלוקה ביחס

אמצע הקטע AB הוא ממוצע הקצוות: $M = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2}, \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$

נקודה P המחלקת את AB ביחס AP:PB = m:n מתקבלת בהתקדמות מ-A לכיוון B במנה $\frac{m}{m + n}$ מתוך הווקטור: $P = A + \frac{m}{m + n} A B$

המכפלה הסקלרית

ל- $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ ו- $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ : $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}$

תוצאת המכפלה הסקלרית היא מספר (סקלר), לא וקטור. היא קשורה לזווית בין הווקטורים דרך $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α$

ומכאן כלל הניצבות החשוב: שני וקטורים (שאינם אפס) ניצבים אם ורק אם $u \cdot v = 0$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: וקטור בין נקודות ואורכו

נתון $A(1,2,3)$ ו- $B(4,6,3)$ . מצאו את AB→ ואת אורכו.

A B = (3, 4, 0), ∣ A B ∣ = 9 + 16 + 0 = 5

שלב 1 — מחשבים את הווקטור

AB→ = B - A = (4-1, 6-2, 3-3) = (3, 4, 0)

בדיקה מהירה

נתונות הנקודות $A(1,2,3)$ ו- $B(4,6,3)$ . מהו אורך הווקטור AB→?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: צירוף לינארי של וקטורים

נתון $u=(1,0,2)$ ו- $v=(2,-1,1)$ . חשבו את $2u - 3v$ .

2 u - 3 v = (2, 0, 4) - (6, - 3, 3) = (- 4, 3, 1)

שלב 1 — כפל בסקלר

2u = (2, 0, 4)

ו-

3v = (6, -3, 3)

דוגמה 3: חלוקת קטע ביחס נתון

P מחלקת את AB ביחס $AP:PB = 2:1$ , כאשר $A(1,2,0)$ ו- $B(7,-4,3)$ . מצאו את P.

P = A + \frac{2}{3} A B = (1, 2, 0) + (4, - 4, 2) = (5, - 2, 2)

שימו לב: היחס נמדד מ-A לכיוון B. החלפת הסדר תיתן נקודה אחרת.

שלב 1 — מנת ההתקדמות

ביחס

m:n = 2:1

מתקדמים מ-A במנה

\frac{m}{m+n} = \frac{2}{3}

מתוך הווקטור AB→.

תשובה מספרית

הנקודה P מחלקת את הקטע AB ביחס $AP:PB = 2:1$ , כאשר $A(1,2,0)$ ו- $B(7,-4,3)$ . מהי קואורדינטת ה-x של P?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מכפלה סקלרית ובדיקת ניצבות

עבור איזה t הווקטורים $u=(t,2,-1)$ ו- $v=(3,t,5)$ ניצבים?

u \cdot v = 5 t - 5 = 0 \Rightarrow t = 1

בדיקה: עבור t=1 מתקבל $(1, 2, - 1) \cdot (3, 1, 5) = 3 + 2 - 5 = 0$ ✓

שלב 1 — תנאי הניצבות

ניצבות פירושה

u \cdot v = 0

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הווקטורים $u=(2,1,-2)$ ו- $v=(1,2,2)$ ניצבים זה לזה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

עבור איזה ערך של t הווקטורים $u=(t,2,-1)$ ו- $v=(3,t,5)$ ניצבים זה לזה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין נקודה לבין וקטור

טעות: מחברים שתי נקודות A+B כדי לקבל "אמצע".

נכון: האמצע הוא $\frac{A + B}{2}$ , וההפרש B-A הוא הווקטור ביניהן.

למה זה קורה?

הנקודה והווקטור נכתבים באותם שלושה מספרים, ולכן נדמה שהם אותו אובייקט.

איך מתקנים?

נקודה היא מיקום; וקטור הוא היסט (גודל וכיוון). מחברים וקטורים — לא נקודות. כדי לקבל וקטור משתי נקודות מחשבים

B - A

טעות נפוצה: מחשבים את AB→ בכיוון הפוך

טעות: $A B = A - B$ .

נכון: $A B = B - A$ . שימו לב ש- $B A = - A B$ .

למה זה קורה?

לא זוכרים אם מחסרים זנב מראש או ראש מזנב.

איך מתקנים?

תמיד: וקטור = ראש פחות זנב. כלומר

AB→ = B - A

. הווקטור BA→ הוא הנגדי:

A - B

טעות נפוצה: חושבים שמכפלה סקלרית שלילית פירושה ניצבות

$u \cdot v < 0 \Rightarrow$ זווית קהה; $u \cdot v = 0 \Rightarrow$ ניצבות.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'מאונך' לבין 'זווית קהה'.

איך מתקנים?

ניצבות מתקיימת אך ורק כאשר

u \cdot v = 0

. מכפלה שלילית מציינת זווית קהה (גדולה מ-

90^{\circ})

, ומכפלה חיובית — זווית חדה.

טעות נפוצה: טעות בכיוון היחס בחלוקת קטע

טעות: עבור יחס 2:1 לוקחים $\frac{A + B}{2}$ .

נכון: $P = A + \frac{2}{3} A B$ — קרוב יותר ל-B מאשר ל-A.

למה זה קורה?

מתבלבלים מי m ומי n, או לוקחים ממוצע פשוט במקום ממוצע משוקלל.

איך מתקנים?

ביחס

AP:PB = m:n

מתקדמים מ-A לכיוון B במנה

\frac{m}{m+n}

. רק כאשר היחס 1:1 מתקבל האמצע (ממוצע פשוט).

סיכום

מה למדנו?

ההצגה האלגברית של וקטורים במרחב:

וקטור הוא שלשה סדורה (x,y,z); וקטור בין נקודות הוא $A B = B - A$ .
חיבור, חיסור וכפל בסקלר — רכיב ברכיב.
אורך: $∣ u ∣ = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$ ; מרחק בין נקודות הוא אורך הווקטור ביניהן.
אמצע = ממוצע הקצוות; חלוקה ביחס m:n: $P = A + \frac{m}{m + n} A B$ .
מכפלה סקלרית $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}$ ; ניצבות $⟺ u \cdot v = 0$ .

בשיעור הבא נשתמש בכלים האלה כדי להציג ישרים ומישורים במרחב.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פעולות בווקטורים, אורך, חלוקת קטע ומכפלה סקלרית!

מערכת צירים והצגה אלגברית של וקטורים במרחב

מערכת צירים והצגה אלגברית של וקטורים במרחב

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: וקטור בין נקודות ואורכו

נתון A(1,2,3)A(1,2,3)A(1,2,3) ו-B(4,6,3)B(4,6,3)B(4,6,3). מצאו את AB→ ואת אורכו.

דוגמה 2: צירוף לינארי של וקטורים

נתון u=(1,0,2)u=(1,0,2)u=(1,0,2) ו-v=(2,−1,1)v=(2,-1,1)v=(2,−1,1). חשבו את 2u−3v2u - 3v2u−3v.

דוגמה 3: חלוקת קטע ביחס נתון

P מחלקת את AB ביחס AP:PB=2:1AP:PB = 2:1AP:PB=2:1, כאשר A(1,2,0)A(1,2,0)A(1,2,0) ו-B(7,−4,3)B(7,-4,3)B(7,−4,3). מצאו את P.

דוגמה 4: מכפלה סקלרית ובדיקת ניצבות

עבור איזה t הווקטורים u=(t,2,−1)u=(t,2,-1)u=(t,2,−1) ו-v=(3,t,5)v=(3,t,5)v=(3,t,5) ניצבים?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין נקודה לבין וקטור

טעות נפוצה: מחשבים את AB→ בכיוון הפוך

טעות נפוצה: חושבים שמכפלה סקלרית שלילית פירושה ניצבות

טעות נפוצה: טעות בכיוון היחס בחלוקת קטע

סיכום

תרגול נוסף

נתון $A(1,2,3)$ ו- $B(4,6,3)$ . מצאו את AB→ ואת אורכו.

נתון $u=(1,0,2)$ ו- $v=(2,-1,1)$ . חשבו את $2u - 3v$ .

P מחלקת את AB ביחס $AP:PB = 2:1$ , כאשר $A(1,2,0)$ ו- $B(7,-4,3)$ . מצאו את P.

עבור איזה t הווקטורים $u=(t,2,-1)$ ו- $v=(3,t,5)$ ניצבים?