חישובי מרחקים במרחב

מבוא

"מרחק" הוא תמיד אורך הקטע הקצר ביותר — וקטע זה תמיד ניצב למה שאליו מודדים. בשיעור זה נבנה ארגז כלים שלם לחישוב מרחקים במרחב: בין נקודות, בין נקודה לישר או למישור, ובין ישרים ומישורים בכל הצירופים. כל הנוסחאות נשענות על שני רעיונות שכבר בידינו — אורך הווקטור וההיטל דרך המכפלה הסקלרית.

מטרות השיעור

לחשב מרחק נקודה-נקודה כאורך הווקטור ביניהן
ליישם את נוסחת המרחק נקודה-מישור: $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
לחשב מרחק נקודה-ישר בשיטת ההיטל (הורדת הרכיב בכיוון הישר)
לחשב מרחק בין ישרים מקבילים ובין ישרים מצטלבים (ניצב משותף)
לחשב מרחק ישר-מישור מקביל ומישור-מישור מקביל

הרעיון המרכזי

נקודה-נקודה ונקודה-מישור

נקודה-נקודה: המרחק הוא אורך הווקטור ביניהן, $∣ A B ∣ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}$ .

נקודה-מישור: עבור נקודה $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ומישור ax+by+cz=d: $dist = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

הערך המוחלט מבטיח מרחק אי-שלילי, והחלוקה ב- $∣ n ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ הכרחית — בלעדיה התוצאה שגויה.

נקודה-ישר בשיטת ההיטל

נתון ישר דרך A בכיוון $d$ ונקודה P. נפרק את $A P$ לרכיב בכיוון הישר ולרכיב הניצב לו. אורך הרכיב הניצב הוא המרחק. לפי פיתגורס: $dist^{2} = ∣ A P ∣^{2} - (A P \cdot \hat{d})^{2}$ כאשר $\hat{d}$ הוא וקטור הכיוון מנורמל ( $\hat{d} = d /∣ d ∣$ ). שקול לכך: מוצאים את רגל האנך $F = A + (A P \cdot \hat{d}) \hat{d}$ ומחשבים |PF|.

ישרים מקבילים ומישורים מקבילים

ישרים מקבילים: לשניהם אותו כיוון, ולכן המרחק ביניהם שווה למרחק מנקודה של אחד אל הישר השני (שיטת ההיטל מהסעיף הקודם).

מישורים מקבילים עם אותם מקדמים $a x + b y + cz = d_{1}$ ו- $a x + b y + cz = d_{2}$ : $dist = \frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ אם המקדמים אינם זהים — מנרמלים תחילה, או בוחרים נקודה על מישור אחד ומחשבים את מרחקה לשני.

ישר-מישור מקביל: אם $d \cdot n = 0$ (הישר מקביל) והישר אינו מוכל במישור — המרחק שווה למרחק מנקודה כלשהי על הישר אל המישור.

ישרים מצטלבים — הניצב המשותף (בלי מכפלה וקטורית)

שני ישרים מצטלבים אינם מקבילים ואינם נחתכים. המרחק ביניהם נמדד לאורך הניצב המשותף. נמצא וקטור $n$ הניצב לשני הכיוונים על ידי פתרון מערכת המכפלות הסקלריות: $n \cdot d_{1} = 0, n \cdot d_{2} = 0$

ואז, עבור נקודה A על הישר הראשון ו-B על השני, המרחק הוא ההיטל של $A B$ על $n$ : $dist = \frac{∣ A B \cdot n ∣}{∣ n ∣}$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרחק נקודה-מישור

מצאו את המרחק מ- $P(4,-1,3)$ למישור $2x - y + 2z = 6$ .

\frac{∣2 \cdot 4 - ( - 1 ) + 2 \cdot 3 - 6∣}{4 + 1 + 4} = \frac{9}{3} = 3

שלב 1 — מציבים במונה

|2 \cdot 4 - (-1) + 2 \cdot 3 - 6| = |8 + 1 + 6 - 6| = |9| = 9

דוגמה 2: מרחק נקודה-ישר

ישר דרך $A(1,0,0)$ בכיוון $d=(0,1,0)$ . מצאו את המרחק מ- $P(4,2,0)$ .

dist^{2} = 13 - 2^{2} = 9 \Rightarrow dist = 3

רגל האנך: $F = A + 2 d = (1, 2, 0)$ , ובדיקה |PF| = |(3,0,0)| = 3 ✓

שלב 1 — הווקטור AP→

AP→ = P - A = (3, 2, 0)

, ולכן

|AP→|^{2} = 9 + 4 + 0 = 13

תשובה מספרית

חשבו את המרחק מהנקודה $P(4,-1,3)$ למישור $2x - y + 2z = 6$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

ישר עובר דרך $A(1,0,0)$ עם וקטור כיוון $d=(0,1,0)$ . חשבו את המרחק מהנקודה $P(4,2,0)$ לישר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מרחק בין מישורים מקבילים

מצאו את המרחק בין $x+2y+2z=4$ ל- $x+2y+2z=16$ .

\frac{∣16 - 4∣}{1 + 4 + 4} = \frac{12}{3} = 4

שלב 1 — בודקים שהמקדמים זהים

שני המישורים בעלי אותו נורמל

(1,2,2)

, ולכן הם מקבילים והנוסחה

|d_{1}-d_{2}|/|n|

תקפה.

תשובה מספרית

חשבו את המרחק בין שני המישורים המקבילים $x + 2y + 2z = 4$ ו- $x + 2y + 2z = 16$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מרחק בין ישרים מצטלבים

$ℓ_{1}:$ דרך $A(1,2,0)$ בכיוון $(1,1,0). ℓ_{2}:$ דרך $B(0,0,2)$ בכיוון $(1,-1,0)$ . מצאו את המרחק.

dist = \frac{∣ A B \cdot n ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣2∣}{1} = 2

הישרים מצטלבים: הכיוונים אינם מקבילים, וברכיב z האחד ב-0 והשני ב-2 — אין חיתוך.

שלב 1 — ניצב משותף

n=(n_{1},n_{2},n_{3})

מקיים

n \cdot (1,1,0)=0 ⟸ n_{1}+n_{2}=0

, ו-

n \cdot (1,-1,0)=0 ⟸ n_{1}-n_{2}=0

. לכן

n_{1}=n_{2}=0

ו-

n=(0,0,1)

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק באורך הנורמל בנוסחת נקודה-מישור

טעות: מרחק = |{-9}| = 9.

נכון: $\frac{9}{1 + 4 + 4} = \frac{9}{3} = 3$ .

למה זה קורה?

מחשבים את המונה

|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-d|

ועוצרים שם.

איך מתקנים?

תמיד מחלקים ב-

\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}

. רק אם הנורמל הוא וקטור יחידה (אורך 1) החלוקה אינה משנה.

טעות נפוצה: מחשבים מרחק נקודה-ישר כאורך AP→ לנקודה כלשהי על הישר

טעות: מרחק $= ∣ A P ∣ = 13$ .

נכון: $13 - 2^{2} = 9 = 3$ — רק הרכיב הניצב לכיוון.

למה זה קורה?

לוקחים את הווקטור לנקודה ההתחלתית A במקום את הרכיב הניצב.

איך מתקנים?

המרחק הוא הרכיב הניצב בלבד. מורידים את ההיטל על הכיוון:

dist^{2} = |AP→|^{2} - (AP→ \cdot d̂)^{2}

טעות נפוצה: מחשבים $d_{1}-d_{2}$ בלי לבדוק שהמקדמים זהים

עבור 2x+4y+4z=8 ו-x+2y+2z=16 אסור לעשות |8-16|; קודם מצמצמים את הראשון ל-x+2y+2z=4.

למה זה קורה?

חושבים שמספיק שהמישורים מקבילים, בלי לשים לב לקנה המידה של הנורמל.

איך מתקנים?

הנוסחה

|d_{1}-d_{2}|/|n|

תקפה רק כשהמקדמים זהים בדיוק. אחרת מנרמלים תחילה, או מחשבים מרחק מנקודה.

טעות נפוצה: מתייחסים לישרים מצטלבים כאל מקבילים, או חושבים שהמרחק 0

אין נקודת חיתוך אינו אומר מרחק 0 — לישרים מצטלבים מרחק חיובי לאורך האנך המשותף.

למה זה קורה?

מזהים שאין נקודת חיתוך ומסיקים שהישרים נחתכים/מקבילים.

איך מתקנים?

ישרים מצטלבים אינם נחתכים ואינם מקבילים, והמרחק ביניהם חיובי. מודדים אותו לאורך הניצב המשותף n המקיים

n \cdot d_{1}=0

ו-

n \cdot d_{2}=0

תשובה מספרית

שני ישרים מצטלבים: $ℓ_{1}$ עובר דרך $A(1,2,0)$ בכיוון $(1,1,0)$ , ו- $ℓ_{2}$ עובר דרך $B(0,0,2)$ בכיוון $(1,-1,0)$ . חשבו את המרחק בין הישרים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

ארגז הכלים למרחקים במרחב:

נקודה-נקודה: |AB|.
נקודה-מישור: $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
נקודה-ישר: $∣ A P ∣^{2} - (A P \cdot \hat{d})^{2}$ (היטל).
ישרים מקבילים / ישר-מישור מקביל: מרחק מנקודה.
מישורים מקבילים (אותם מקדמים): $\frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
ישרים מצטלבים: ניצב משותף $n$ (מ- $n \cdot d_{1} = 0, n \cdot d_{2} = 0$ ), ואז $\frac{∣ A B \cdot n ∣}{∣ n ∣}$ .

הרעיון המאחד: מרחק הוא תמיד אורך הרכיב הניצב.

בשיעור הבא נחשב זוויות במרחב — בכלים וקטוריים וטריגונומטריים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על כל סוגי המרחקים במרחב!

חישובי מרחקים במרחב

חישובי מרחקים במרחב

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרחק נקודה-מישור

מצאו את המרחק מ-P(4,−1,3)P(4,-1,3)P(4,−1,3) למישור 2x−y+2z=62x - y + 2z = 62x−y+2z=6.

דוגמה 2: מרחק נקודה-ישר

ישר דרך A(1,0,0)A(1,0,0)A(1,0,0) בכיוון d=(0,1,0)d=(0,1,0)d=(0,1,0). מצאו את המרחק מ-P(4,2,0)P(4,2,0)P(4,2,0).

דוגמה 3: מרחק בין מישורים מקבילים

מצאו את המרחק בין x+2y+2z=4x+2y+2z=4x+2y+2z=4 ל-x+2y+2z=16x+2y+2z=16x+2y+2z=16.

דוגמה 4: מרחק בין ישרים מצטלבים

ℓ1:ℓ_{1}:ℓ1​: דרך A(1,2,0)A(1,2,0)A(1,2,0) בכיוון (1,1,0).ℓ2:(1,1,0). ℓ_{2}:(1,1,0).ℓ2​: דרך B(0,0,2)B(0,0,2)B(0,0,2) בכיוון (1,−1,0)(1,-1,0)(1,−1,0). מצאו את המרחק.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק באורך הנורמל בנוסחת נקודה-מישור

טעות נפוצה: מחשבים מרחק נקודה-ישר כאורך AP→ לנקודה כלשהי על הישר

טעות נפוצה: מחשבים d1−d2d_{1}-d_{2}d1​−d2​ בלי לבדוק שהמקדמים זהים

טעות נפוצה: מתייחסים לישרים מצטלבים כאל מקבילים, או חושבים שהמרחק 0

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את המרחק מ- $P(4,-1,3)$ למישור $2x - y + 2z = 6$ .

ישר דרך $A(1,0,0)$ בכיוון $d=(0,1,0)$ . מצאו את המרחק מ- $P(4,2,0)$ .

מצאו את המרחק בין $x+2y+2z=4$ ל- $x+2y+2z=16$ .

$ℓ_{1}:$ דרך $A(1,2,0)$ בכיוון $(1,1,0). ℓ_{2}:$ דרך $B(0,0,2)$ בכיוון $(1,-1,0)$ . מצאו את המרחק.

טעות נפוצה: מחשבים $d_{1}-d_{2}$ בלי לבדוק שהמקדמים זהים