הצגה פרמטרית של ישר ומשוואת מישור במרחב

מבוא

נקודה אחת אינה מספיקה כדי לתאר ישר; דרושים גם כיוון. בעזרת הווקטורים מהשיעור הקודם נלמד לתאר ישרים ומישורים בשפה אלגברית: ישר נכתב כ"נקודה ועליה וקטור כיוון", ומישור נכתב או באמצעות שני וקטורי כיוון או — בצורה החסכונית והשימושית ביותר — באמצעות משוואה שבה המקדמים הם וקטור הנורמל. נלמד גם לזהות את המצב ההדדי בין שני ישרים, בין שני מישורים ובין ישר ומישור.

מטרות השיעור

להציג ישר במישור ובמרחב בהצגה פרמטרית: $(x, y, z) = A + t d$
להבין מדוע ישר במרחב אינו ניתן בדרך כלל למשוואה יחידה אחת
להציג מישור פרמטרית (נקודה + שני וקטורי כיוון) ובאמצעות משוואה ax+by+cz=d
לזהות שב-ax+by+cz=d השלשה (a,b,c) היא וקטור הנורמל
לסווג את המצב ההדדי של ישרים, מישורים וישר-מישור (כולל ישרים מצטלבים)

הרעיון המרכזי

הצגה פרמטרית של ישר

ישר נקבע על ידי נקודה A שעליו ווקטור כיוון $d$ (וקטור המקביל לישר). כל נקודה על הישר מתקבלת בהתקדמות מ-A בכפולה כלשהי של $d$ : $(x, y, z) = A + t d, t \in R$

ברכיבים, עבור $A = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ו- $d = (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ : $x = x_{0} + t d_{1}, y = y_{0} + t d_{2}, z = z_{0} + t d_{3}$

הצגה זו עובדת גם במישור (שני רכיבים) וגם במרחב (שלושה).

מדוע ישר במרחב אינו משוואה אחת

במישור משוואה לינארית אחת (y=mx+b) מתארת ישר. במרחב משוואה לינארית אחת ax+by+cz=d מתארת מישור, לא ישר. לכן ישר במרחב מיוצג בהצגה פרמטרית, או כחיתוך של שני מישורים. זו הסיבה שהפרמטר t הכרחי.

המישור: פרמטרית ובאמצעות משוואה

הצגה פרמטרית של מישור דורשת נקודה A ושני וקטורי כיוון בלתי תלויים $u, v$ : $(x, y, z) = A + s u + t v$

משוואת המישור היא דרך חסכונית יותר. אם $n = (a, b, c)$ הוא וקטור נורמל (ניצב למישור), אז לכל נקודה P במישור הווקטור $A P$ ניצב ל- $n$ , כלומר $n \cdot A P = 0$ . פתיחת התנאי נותנת: $a x + b y + cz = d, d = n \cdot A$

המקדמים הם הנורמל: השלשה (a,b,c) ניצבת למישור. את d מוצאים על ידי הצבת נקודה ידועה.

מצב הדדי של ישרים ושל מישורים

שני ישרים במרחב יכולים להיות:

מתלכדים — אותו ישר.
מקבילים — וקטורי כיוון מקבילים, אך אין נקודה משותפת.
נחתכים — נפגשים בנקודה אחת (ואז הם באותו מישור).
מצטלבים — כיוונים לא מקבילים ואין נקודת חיתוך; הם אינם באותו מישור.

שני מישורים מקבילים/מתלכדים אם הנורמלים מקבילים, אחרת הם נחתכים בישר. ישר ומישור: הישר מקביל למישור אם וקטור הכיוון ניצב לנורמל ( $d \cdot n = 0$ ) ואין נקודה משותפת, מוכל במישור אם בנוסף נקודה שלו על המישור, ואחרת חותך אותו בנקודה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בדיקה אם נקודה על ישר

האם הנקודה $(3,1,7)$ נמצאת על הישר $(x,y,z) = (1+2t, 2-t, 3+4t)$ ?

$t = 1 \Rightarrow (1 + 2, 2 - 1, 3 + 4) = (3, 1, 7)$ ✓

שלב 1 — מוצאים t מהרכיב הראשון

x: 1+2t = 3 ⟸ t = 1

דוגמה 2: משוואת מישור מנקודה ומנורמל

מצאו את משוואת המישור העובר דרך $A(1,2,-1)$ עם נורמל $n=(2,3,-1)$ .

n \cdot A P = 0 \Rightarrow 2 x + 3 y - z = n \cdot A = 9

שלב 1 — כותבים את שלד המשוואה

המקדמים הם רכיבי הנורמל:

2x + 3y - z = d

בדיקה מהירה

מהו וקטור נורמל למישור $3x - 2y + 5z = 7$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מישור עובר דרך הנקודה $A(1,2,-1)$ ווקטור נורמל לו הוא $n=(2,3,-1)$ . משוואת המישור היא $2x+3y-z=d$ . מהו הערך של d?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חיתוך ישר ומישור

מצאו את נקודת החיתוך של הישר $(x,y,z)=(1+t, 2t, 3-t)$ עם המישור $x+y+z=10$ .

4 + 2 t = 10 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow (4, 6, 0)

שלב 1 — מציבים את הישר במשוואת המישור

(1+t) + (2t) + (3-t) = 10

תשובה מספרית

הישר $(x,y,z) = (1+t, 2t, 3-t)$ חותך את המישור $x+y+z=10$ . מהי קואורדינטת ה-x של נקודת החיתוך?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: סיווג מצב הדדי של שני ישרים

$ℓ_{1}:$ דרך $(0,0,0)$ בכיוון $(1,2,3). ℓ_{2}:$ דרך $(1,1,1)$ בכיוון $(2,4,6)$ . מה היחס ביניהם?

כיוונים מקבילים + אין נקודה משותפת $\Rightarrow$ ישרים מקבילים.

שלב 1 — בודקים מקביליות כיוונים

(2,4,6) = 2 \cdot (1,2,3)

— הכיוונים מקבילים, אז

ℓ_{1}

ו-

ℓ_{2}

מקבילים או מתלכדים.

בדיקה מהירה

ישר $ℓ_{1}$ עובר דרך הראשית $(0,0,0)$ עם וקטור כיוון $(1,2,3)$ . ישר $ℓ_{2}$ עובר דרך $(1,1,1)$ עם וקטור כיוון $(2,4,6)$ . מהו המצב ההדדי בין הישרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין וקטור הכיוון לבין נקודה על הישר

טעות: בישר (1+2t, 2-t, 3+4t) חושבים שהכיוון הוא (1,2,3).

נכון: הנקודה היא (1,2,3) (עבור t=0), והכיוון הוא (2,-1,4) (המקדמים של t).

למה זה קורה?

בהצגה הפרמטרית

A + t \cdot d

מופיעים גם נקודה וגם וקטור, וקל לבלבל ביניהם.

איך מתקנים?

הנקודה היא 'מאיפה מתחילים' (האיבר החופשי), והכיוון הוא 'לאן מתקדמים' (המקדם של t). בדקו תפקיד כל שלשה.

טעות נפוצה: מנסים לכתוב ישר במרחב כמשוואה אחת $y=mx+b$

נכון: ישר במרחב — $(x, y, z) = A + t d$ . משוואה בודדת ax+by+cz=d מתארת מישור.

למה זה קורה?

מעבירים הרגל מהמישור הדו-ממדי.

איך מתקנים?

במרחב משוואה לינארית אחת היא מישור. ישר דורש הצגה פרמטרית (או שני מישורים נחתכים).

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקדמי משוואת המישור לבין נקודה עליו

טעות: רואים 3x-2y+5z=7 וחושבים ש-(3,-2,5) נקודה במישור.

נכון: (3,-2,5) הוא וקטור נורמל; נקודה במישור צריכה לקיים את המשוואה.

למה זה קורה?

המספרים במשוואה נראים כמו קואורדינטות.

איך מתקנים?

ב-

ax+by+cz=d

השלשה (a,b,c) היא הנורמל (ניצב למישור), ו-d הוא קבוע. נקודה במישור היא פתרון של המשוואה.

טעות נפוצה: מניחים שאם אין נקודת חיתוך הישרים מקבילים

כיוונים לא מקבילים + אין חיתוך $\Rightarrow$ ישרים מצטלבים, לא מקבילים.

למה זה קורה?

שוכחים את האפשרות של ישרים מצטלבים במרחב.

איך מתקנים?

במרחב שני ישרים בלי נקודה משותפת יכולים להיות מקבילים (כיוונים מקבילים) או מצטלבים (כיוונים לא מקבילים, לא באותו מישור). בדקו תחילה את הכיוונים.

סיכום

מה למדנו?

ישרים ומישורים במרחב:

ישר — הצגה פרמטרית $(x, y, z) = A + t d$ (נקודה + וקטור כיוון).
ישר במרחב אינו משוואה יחידה אחת — אלא פרמטרי או חיתוך שני מישורים.
מישור — פרמטרית ( $A + s u + t v$ ) או משוואה ax+by+cz=d.
ב-ax+by+cz=d: (a,b,c) הוא הנורמל, ו- $d = n \cdot A$ .
מצב הדדי של ישרים: מתלכדים / מקבילים / נחתכים / מצטלבים.

בשיעור הבא נשתמש בכלים האלה כדי לחשב מרחקים במרחב.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הצגות פרמטריות, משוואות מישור וסיווג מצבים הדדיים!

הצגה פרמטרית של ישר ומשוואת מישור במרחב

הצגה פרמטרית של ישר ומשוואת מישור במרחב

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בדיקה אם נקודה על ישר

האם הנקודה (3,1,7)(3,1,7)(3,1,7) נמצאת על הישר (x,y,z)=(1+2t,2−t,3+4t)(x,y,z) = (1+2t, 2-t, 3+4t)(x,y,z)=(1+2t,2−t,3+4t)?

דוגמה 2: משוואת מישור מנקודה ומנורמל

מצאו את משוואת המישור העובר דרך A(1,2,−1)A(1,2,-1)A(1,2,−1) עם נורמל n=(2,3,−1)n=(2,3,-1)n=(2,3,−1).

דוגמה 3: חיתוך ישר ומישור

מצאו את נקודת החיתוך של הישר (x,y,z)=(1+t,2t,3−t)(x,y,z)=(1+t, 2t, 3-t)(x,y,z)=(1+t,2t,3−t) עם המישור x+y+z=10x+y+z=10x+y+z=10.

דוגמה 4: סיווג מצב הדדי של שני ישרים

ℓ1:ℓ_{1}:ℓ1​: דרך (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) בכיוון (1,2,3).ℓ2:(1,2,3). ℓ_{2}:(1,2,3).ℓ2​: דרך (1,1,1)(1,1,1)(1,1,1) בכיוון (2,4,6)(2,4,6)(2,4,6). מה היחס ביניהם?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין וקטור הכיוון לבין נקודה על הישר

טעות נפוצה: מנסים לכתוב ישר במרחב כמשוואה אחת y=mx+by=mx+by=mx+b

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקדמי משוואת המישור לבין נקודה עליו

טעות נפוצה: מניחים שאם אין נקודת חיתוך הישרים מקבילים

סיכום

תרגול נוסף

האם הנקודה $(3,1,7)$ נמצאת על הישר $(x,y,z) = (1+2t, 2-t, 3+4t)$ ?

מצאו את משוואת המישור העובר דרך $A(1,2,-1)$ עם נורמל $n=(2,3,-1)$ .

מצאו את נקודת החיתוך של הישר $(x,y,z)=(1+t, 2t, 3-t)$ עם המישור $x+y+z=10$ .

$ℓ_{1}:$ דרך $(0,0,0)$ בכיוון $(1,2,3). ℓ_{2}:$ דרך $(1,1,1)$ בכיוון $(2,4,6)$ . מה היחס ביניהם?

טעות נפוצה: מנסים לכתוב ישר במרחב כמשוואה אחת $y=mx+b$