חישוב זוויות ואורכים באמצעות מכפלה סקלרית

מבוא

בשיעור הקודם הגדרנו את המכפלה הסקלרית $u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos α$ . עכשיו נהפוך את ההגדרה הזו לכלי עבודה: מאותה נוסחה אחת נחלץ שלושה סוגי חישוב מרכזיים — את הזווית בין שני וקטורים, את אורכו של וקטור, ואת אורכו של סכום או הפרש של וקטורים. אלה הם בדיוק הכלים שדרושים לפתרון בעיות מרחביות בבחינת הבגרות.

מטרות השיעור

לחלץ מההגדרה את נוסחת הזווית: $cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$
לחשב את אורך הווקטור: $∣ u ∣ = u \cdot u$
לפתח את אורך הסכום וההפרש: $∣ u \pm v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} \pm 2 u \cdot v + ∣ v ∣^{2}$
ליישם את הכלים על וקטורים נתונים בקואורדינטות ועל קודקודי משולש במרחב

הרעיון המרכזי

נוסחת הזווית בין שני וקטורים

נבודד את $cos α$ מתוך ההגדרה $u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos α$ . עבור שני וקטורים שאינם וקטור האפס נחלק בשני האורכים:

cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}

ולבסוף $α = arccos (\frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣})$ , כאשר $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . שלושת השלבים הם תמיד אותם שלבים: (1) חשבו את המונה $u \cdot v$ ; (2) חשבו את שני האורכים במכנה; (3) הפעילו $arccos$ .

אורך וקטור

האורך נובע ישירות מהקשר $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ :

∣ u ∣ = u \cdot u = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}

זוהי בדיוק נוסחת המרחק במרחב התלת-ממדי, ומכאן ש- $∣ A B ∣$ הוא המרחק בין הנקודות A ו-B.

אורך סכום והפרש — הפיתוח המרכזי

כדי לחשב את אורך הסכום, נשתמש בכך ש- $∣ w ∣^{2} = w \cdot w$ ונפתח בעזרת חוק הפילוג:

∣ u + v ∣^{2} = (u + v) \cdot (u + v) = u \cdot u + 2 u \cdot v + v \cdot v = ∣ u ∣^{2} + 2 u \cdot v + ∣ v ∣^{2}

ובאופן דומה $∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} - 2 u \cdot v + ∣ v ∣^{2}$ . שימו לב לאיבר האמצעי $2 u \cdot v$ — בדיוק בגללו אין שוויון $∣ u + v ∣ = ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ באופן כללי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזווית בין שני וקטורים בקואורדינטות

מצאו את הזווית $\alpha$ בין $u=(1,2,2)$ ו- $v=(2,-1,2)$ . עגלו לעשירית המעלה.

cos α = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} \approx 0.444 \Rightarrow α \approx 63. 6^{\circ}

שלב 1 — מונה: $u \cdot v$

u \cdot v = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 2 - 2 + 4 = 4

תשובה מספרית

מצאו (במעלות) את הזווית בין הווקטורים $u=(1,0,0)$ ו- $v=(1,1,0)$ .

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתונים $u=(1,2,2)$ ו- $v=(2,-1,2)$ . מהו הערך של $\cos \alpha$ עבור הזווית $\alpha$ שביניהם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: אורך וקטור ומרחק בין נקודות

נתונות הנקודות $A(1,2,3)$ ו- $B(4,6,3)$ . מצאו את אורך הווקטור AB (המרחק בין הנקודות).

∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} + 0^{2} = 25 = 5

שלב 1 — רכיבי הווקטור

AB = B - A = (4-1, 6-2, 3-3) = (3,4,0)

דוגמה 3: אורך סכום וקטורים

נתון $|u|=3, |v|=4$ ו- $u \cdot v=6$ . חשבו את אורך הווקטור $u+v$ .

∣ u + v ∣^{2} = 9 + 12 + 16 = 37 \Rightarrow ∣ u + v ∣ = 37 \approx 6.08

שימו לב: $∣ u ∣ + ∣ v ∣ = 7 \neq = 37$ — אורך הסכום אינו סכום האורכים.

שלב 1 — פיתוח הריבוע

|u+v|^{2} = |u|^{2} + 2(u \cdot v) + |v|^{2}

תשובה מספרית

נתון $|u|=3, |v|=4$ ו- $u \cdot v=6$ . חשבו את אורך הווקטור $u+v. ($ עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: זווית במשולש במרחב

במשולש ABC במרחב: $A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)$ . מצאו את הזווית בקודקוד A. עגלו לעשירית המעלה.

cos A = \frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣ ∣ A C ∣} = \frac{1}{50} \approx 0.141 \Rightarrow A \approx 81. 9^{\circ}

שלב 1 — וקטורי הצלעות מ-A

AB = B - A = (-1,2,0), AC = C - A = (-1,0,3)

דוגמה 5: מציאת פרמטר מתוך זווית ישרה

עבור איזה ערך t הזווית בין $u=(1,t,0)$ ו- $v=(2,3,0)$ ישרה $(90^{\circ})$ ?

u \cdot v = 2 + 3 t = 0 \Rightarrow t = - \frac{2}{3}

שלב 1 — תנאי לזווית ישרה

\alpha =90^{\circ} ⟺ \cos \alpha =0 ⟺ u \cdot v=0

תשובה מספרית

במשולש ABC במרחב נתונים הקודקודים $A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)$ . מצאו (במעלות, עגלו לעשירית) את הזווית בקודקוד A.

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במכפלת האורכים

טעות: " $cos α = u \cdot v = 4$ " — ערך גדול מ-1, שאי אפשר שיהיה קוסינוס.

נכון: $cos α = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} \approx 0.444$ .

למה זה קורה?

זוכרים ש-

u \cdot v

קשור לזווית, אבל מדלגים על החלוקה ב-|u||v|.

איך מתקנים?

הזווית מתקבלת מ-

\cos \alpha = \frac{u \cdot v}{|u||v|}

, לא מ-

u \cdot v

לבדו. תמיד חשבו גם את שני האורכים במכנה.

טעות נפוצה: מניחים ש- $|u+v| = |u| + |v|$

טעות: עבור $∣ u ∣ = 3, ∣ v ∣ = 4, u \cdot v = 6$ : " $∣ u + v ∣ = 3 + 4 = 7$ ".

נכון: $∣ u + v ∣ = 9 + 12 + 16 = 37 \approx 6.08$ .

למה זה קורה?

מכלילים שלא כדין את חיבור המספרים לאורכי וקטורים.

איך מתקנים?

מפתחים תמיד

|u+v|^{2} = |u|^{2} + 2(u \cdot v) + |v|^{2}

. האיבר

2(u \cdot v)

הוא שמבדיל בין השניים; שוויון מתקיים רק אם הווקטורים מקבילים ובאותו כיוון.

טעות נפוצה: מקבלים ארגומנט מחוץ לתחום [−1,1] ולא בודקים

זכרו: $- 1 \leq cos α \leq 1$ תמיד. ערך כמו $cos α = 1.3$ מסמן שגיאה, לא זווית.

למה זה קורה?

טעות חישוב במונה או במכנה מובילה ל-

\cos \alpha

גדול מ-1 או קטן מ-

-1

, ומפעילים

\arccos

בלי לעצור.

איך מתקנים?

קוסינוס של זווית הוא תמיד בין

-1

ל-1. אם קיבלתם ערך מחוץ לתחום — יש טעות חשבונית, חזרו ובדקו את המונה ואת האורכים.

סיכום

מה למדנו?

מההגדרה האחת חילצנו שלושה כלי חישוב:

זווית: $cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ , ואז $α = arccos (\dots)$ .
אורך: $∣ u ∣ = u \cdot u = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$ .
אורך סכום/הפרש: $∣ u \pm v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} \pm 2 u \cdot v + ∣ v ∣^{2}$ .

זכרו:

הסימן של $u \cdot v$ מספר אם הזווית חדה, ישרה או קהה.
$∣ u + v ∣ \neq = ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ באופן כללי.

בשיעור הבא נשתמש בכלים האלה כדי להוכיח משפטים גאומטריים בכלים וקטוריים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב זוויות, אורכים ואורכי סכום והפרש!

חישוב זוויות ואורכים באמצעות מכפלה סקלרית

חישוב זוויות ואורכים באמצעות מכפלה סקלרית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזווית בין שני וקטורים בקואורדינטות

מצאו את הזווית α\alphaα בין u=(1,2,2)u=(1,2,2)u=(1,2,2) ו-v=(2,−1,2)v=(2,-1,2)v=(2,−1,2). עגלו לעשירית המעלה.

דוגמה 2: אורך וקטור ומרחק בין נקודות

נתונות הנקודות A(1,2,3)A(1,2,3)A(1,2,3) ו-B(4,6,3)B(4,6,3)B(4,6,3). מצאו את אורך הווקטור AB (המרחק בין הנקודות).

דוגמה 3: אורך סכום וקטורים

נתון ∣u∣=3,∣v∣=4|u|=3, |v|=4∣u∣=3,∣v∣=4 ו-u⋅v=6u \cdot v=6u⋅v=6. חשבו את אורך הווקטור u+vu+vu+v.

דוגמה 4: זווית במשולש במרחב

במשולש ABC במרחב: A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3). מצאו את הזווית בקודקוד A. עגלו לעשירית המעלה.

דוגמה 5: מציאת פרמטר מתוך זווית ישרה

עבור איזה ערך t הזווית בין u=(1,t,0)u=(1,t,0)u=(1,t,0) ו-v=(2,3,0)v=(2,3,0)v=(2,3,0) ישרה (90∘)(90^{\circ})(90∘)?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במכפלת האורכים

טעות נפוצה: מניחים ש-∣u+v∣=∣u∣+∣v∣|u+v| = |u| + |v|∣u+v∣=∣u∣+∣v∣

טעות נפוצה: מקבלים ארגומנט מחוץ לתחום [−1,1] ולא בודקים

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את הזווית $\alpha$ בין $u=(1,2,2)$ ו- $v=(2,-1,2)$ . עגלו לעשירית המעלה.

נתונות הנקודות $A(1,2,3)$ ו- $B(4,6,3)$ . מצאו את אורך הווקטור AB (המרחק בין הנקודות).

נתון $|u|=3, |v|=4$ ו- $u \cdot v=6$ . חשבו את אורך הווקטור $u+v$ .

במשולש ABC במרחב: $A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)$ . מצאו את הזווית בקודקוד A. עגלו לעשירית המעלה.

עבור איזה ערך t הזווית בין $u=(1,t,0)$ ו- $v=(2,3,0)$ ישרה $(90^{\circ})$ ?

טעות נפוצה: מניחים ש- $|u+v| = |u| + |v|$