מכפלה סקלרית בין וקטורים

יחידה זו מציגה את המכפלה הסקלרית — הפעולה שמחברת בין אלגברה של וקטורים לבין גאומטריה של זוויות ואורכים. נגדיר את המכפלה הסקלרית של שני וקטורים גאומטריים כ-$u \cdot v=|u||v| \cdot \cos \alpha$, כאשר $\alpha$ היא הזווית ביניהם, ונדגיש את ההבחנה העקרונית: סימן הכפל באגף שמאל מייצג פעולה חדשה בין שני וקטורים, ואילו תוצאתה היא מספר (סקלר) — לא וקטור. מתוך ההגדרה נפתח את התכונות (חילופיות, פילוג, הקשר $u \cdot u=|u|^{2})$ ואת תנאי הניצבות $u \cdot v=0$, ונראה את הנוסחה האלגברית במרחב $u \cdot v=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$. בשלב השני נשתמש במכפלה הסקלרית ככלי חישוב: מציאת הזווית בין שני וקטורים מתוך $\cos \alpha =\frac{u \cdot v}{|u||v|}$, חישוב אורכים באמצעות $|u|=\sqrt{u \cdot u}$ וחישוב אורך של סכום או הפרש וקטורים. בשיא היחידה — וברוח שנת הבגרות שבה ההוכחה מרכזית — נשתמש במכפלה הסקלרית להוכחת משפטים גאומטריים בכלים וקטוריים: שישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים במישור, ונוכיח מחדש משפטים מוכרים (אלכסוני מעוין ניצבים, משפט פיתגורס, הזווית ההיקפית הנשענת על קוטר) בעזרת וקטורים בלבד.