הוכחת משפטים גאומטריים בכלים וקטוריים

מבוא

הגענו לשיא היחידה. בשנת הבגרות ההוכחה אינה קישוט — היא לב העניין. בשני השיעורים הקודמים בנינו כלי יחיד וחזק: המכפלה הסקלרית, ובתוכה את תנאי הניצבות $u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v$ . עכשיו נראה שכלי זה מאפשר להוכיח משפטים גאומטריים בלי ציור מדויק ובלי מקרים פרטיים — ההוכחה הווקטורית חלה בבת אחת על כל התצורות. נוכיח את משפט הדגל של הפרק (ישר ניצב למישור), ונראה איך משפטים מוכרים מהגאומטריה האוקלידית מתקבלים מחדש בשורה אחת של מכפלה סקלרית.

מטרות השיעור

להבין שהוכחה וקטורית משתמשת בווקטורים סמליים (לא במספרים) וחלה על כל המקרים
להוכיח: ישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים במישור
להוכיח מחדש בכלים וקטוריים: אלכסוני מעוין ניצבים זה לזה
להוכיח מחדש: משפט פיתגורס והזווית הנשענת על קוטר היא ישרה (משפט תאלס)
לזהות מדוע ניצבות לישר יחיד אינה מספיקה לניצבות לכל המישור

הרעיון המרכזי

עקרון ההוכחה הווקטורית

כדי להוכיח טענה גאומטרית בכלים וקטוריים:

מסמנים את הנקודות הרלוונטיות בווקטורים סמליים (למשל $a, b$ ), בלי לבחור ערכים מספריים.
מתרגמים את הנתון ואת הנדרש לשפת המכפלה הסקלרית (ניצבות ⟸ $\cdot = 0$ ; אורך ⟸ $∣ u ∣^{2} = u \cdot u$ ).
מפעילים את תכונות המכפלה (חילופיות, פילוג) עד לקבלת הנדרש.

מאחר שלא בחרנו ערכים, ההוכחה תקפה לכל המשולשים / המעוינים / התצורות — זה בדיוק היתרון על "בדיקה על דוגמה".

משפט הדגל: ישר ניצב למישור

משפט. ישר $ℓ$ העובר דרך נקודה במישור $π$ ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים העוברים באותה נקודה במישור.

נסמן ב- $n$ וקטור כיוון של $ℓ$ , וב- $d_{1}, d_{2}$ וקטורי כיוון של שני הישרים הלא-מקבילים במישור. "ניצב למישור" פירושו ש- $n$ מאונך לכל וקטור במישור.

כיוון א' (קל): אם $ℓ$ ניצב למישור, אז בפרט הוא מאונך ל- $d_{1}$ ול- $d_{2}$ ששוכנים במישור, כלומר $n \cdot d_{1} = 0$ ו- $n \cdot d_{2} = 0$ .

כיוון ב' (העיקרי): נניח $n \cdot d_{1} = 0$ ו- $n \cdot d_{2} = 0$ , ו- $d_{1}, d_{2}$ אינם מקבילים. כל וקטור $w$ במישור הוא צירוף לינארי שלהם: $w = s d_{1} + t d_{2}$ . נחשב בעזרת הפילוג:

n \cdot w = n \cdot (s d_{1} + t d_{2}) = s (n \cdot d_{1}) + t (n \cdot d_{2}) = s \cdot 0 + t \cdot 0 = 0

לכן $n$ מאונך לכל וקטור במישור — כלומר $ℓ$ ניצב למישור. מ.ש.ל.

מדוע 'שני ישרים לא מקבילים' ולא ישר אחד?

התנאי שהישרים אינם מקבילים הוא קריטי: רק כך כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי $s d_{1} + t d_{2}$ שלהם (הם "פורשים" את המישור). אם נדרוש ניצבות לישר יחיד $d_{1}$ בלבד, יש אינסוף ישרים שמאונכים לו ואינם ניצבים למישור (למשל ישרים השוכבים במישור עצמו ומאונכים ל- $d_{1}$ ). שני כיוונים בלתי תלויים הם המינימום הדרוש כדי "לתפוס" את כל המישור.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחה וקטורית — אלכסוני מעוין ניצבים

הוכיחו בכלים וקטוריים: במעוין האלכסונים ניצבים זה לזה.

(a + b) \cdot (a - b) = ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = 0 \Rightarrow (a + b) ⊥ (a - b)

שימו לב: לא בחרנו מעוין מסוים — ההוכחה תקפה לכל מעוין.

שלב 1 — סימון

נסמן את צלעות המעוין היוצאות מקודקוד אחד ב-a ו-b. במעוין כל הצלעות שוות, ולכן

|a| = |b|

בדיקה מהירה

בהוכחה הווקטורית שאלכסוני מעוין ניצבים, מסמנים את שתי הצלעות היוצאות מקודקוד ב-a ו-b. לאיזה ביטוי שווה המכפלה הסקלרית של האלכסונים $(a+b) \cdot (a-b)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הוכחה וקטורית — משפט פיתגורס

הוכיחו בכלים וקטוריים את משפט פיתגורס: במשולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 (a \cdot b) + ∣ b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}

האיבר $- 2 (a \cdot b)$ מתאפס בדיוק בגלל הזווית הישרה — שם נכנס הנתון.

שלב 1 — סימון

במשולש עם זווית ישרה, נסמן את שני הניצבים היוצאים מהזווית הישרה ב-a ו-b. היתר הוא הווקטור

b - a (

או

a - b)

דוגמה 3: בדיקת ניצבות לישר במקרה קונקרטי

ישר בכיוון $n=(2,3,-1)$ . האם הוא ניצב למישור הפרוש על ידי $d_{1}=(1,1,5)$ ו- $d_{2}=(1,-1,-1)$ ?

n \cdot d_{1} = 0, n \cdot d_{2} = 0 \Rightarrow n ⊥ π

שלב 1 — בודקים אי-תלות

d_{1}=(1,1,5)

ו-

d_{2}=(1,-1,-1)

אינם מקבילים (אינם כפולה זה של זה), ולכן הם פורשים את המישור.

תשובה מספרית

ישר בכיוון $n=(2,3,-1)$ . במישור שוכן ישר בכיוון $d_{1}=(1,1,5)$ . חשבו את $n \cdot d_{1}$ כדי לבדוק אם n מאונך ל- $d_{1}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הזווית הנשענת על קוטר היא ישרה (תאלס)

הוכיחו בכלים וקטוריים: זווית היקפית הנשענת על קוטר במעגל היא ישרה.

P A \cdot PB = (r - p) \cdot (- r - p) = ∣ p ∣^{2} - ∣ r ∣^{2} = 0

הנקודה P נבחרה כלשהי על המעגל — ולכן המשפט תקף לכל זווית היקפית הנשענת על הקוטר.

שלב 1 — סימון

נסמן את מרכז המעגל ב-O ואת קצוות הקוטר ב-A ו-B, כך ש-

OA = -OB

. נסמן

r = OA

, ולכן

OB = -r

ו-|r| הוא הרדיוס. P נקודה כלשהי על המעגל, ונסמן

p = OP

, כאשר

|p| = |r| (

רדיוס).

תשובה קצרה

בהוכחת פיתגורס בכלים וקטוריים, הניצבים הם a ו-b והיתר הוא $b-a$ . פיתוח $|b-a|^{2}$ נותן $|a|^{2} - 2(a \cdot b) + |b|^{2}$ . איזה תנאי על $a \cdot b ($ הנובע מהזווית הישרה) גורם לאיבר האמצעי להתאפס? כתבו את התנאי.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מסיקים ניצבות למישור מניצבות לישר יחיד בו

טעות: " $n \cdot d_{1} = 0$ , לכן הישר ניצב למישור."

נכון: יש לבדוק גם $n \cdot d_{2} = 0$ עבור כיוון שני $d_{2}$ שאינו מקביל ל- $d_{1}$ .

למה זה קורה?

אינטואיציה שגויה: 'אם מאונך לישר אחד במישור — מאונך למישור'.

איך מתקנים?

צריך ניצבות לשני ישרים לא מקבילים. רק שניים כאלה פורשים את המישור, ואז כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי שלהם — וההוכחה עוברת.

טעות נפוצה: 'מוכיחים' על דוגמה מספרית אחת

טעות: "בדקתי מעוין עם $a = (2, 2, 1), b = (2, - 1, 2)$ וקיבלתי 0 — מ.ש.ל."

נכון: ההוכחה הכללית $(a + b) \cdot (a - b) = ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = 0$ תקפה לכל מעוין, כי לא בחרנו ערכים.

למה זה קורה?

מציבים מספרים, מקבלים אפס, וחושבים שהמשפט הוכח.

איך מתקנים?

דוגמה אחת מאמתת מקרה יחיד בלבד. הוכחה משתמשת בווקטורים סמליים (a, b, n...) ולכן חלה על כל המקרים. שמרו על סימון כללי לאורך כל ההוכחה.

טעות נפוצה: שוכחים שתנאי הניצבות מניח וקטורים שאינם אפס

זכרו: השקילות $u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v$ נכונה עבור $u \neq = 0$ ו- $v \neq = 0$ .

למה זה קורה?

מיישמים

u \cdot v=0 ⟺

ניצבות גם כשאחד הווקטורים עלול להיות וקטור האפס.

איך מתקנים?

וקטור האפס מקיים

0 \cdot v=0

לכל v, אך אין לו כיוון ולכן אין משמעות ל'זווית'. בהוכחות ודאו שהווקטורים המייצגים צלעות/כיוונים אינם מתאפסים (המשולש אינו מנוון).

תשובה קצרה

בהוכחה שזווית הנשענת על קוטר היא ישרה: O מרכז המעגל $, r=OA ($ ו- $OB=-r), p=OP$ נקודה על המעגל. מפתחים $PA \cdot PB=(r-p) \cdot (-r-p)$ ומגיעים ל- $|p|^{2}-|r|^{2}$ . איזה שוויון בין אורכים (הנובע מכך ש-P על המעגל) גורם לביטוי להתאפס? כתבו אותו.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

המכפלה הסקלרית היא כלי הוכחה רב-עוצמה:

עקרון ההוכחה הווקטורית: וקטורים סמליים → תרגום לתנאי $\cdot = 0$ ו- $∣ u ∣^{2} = u \cdot u$ → פילוג וחילופיות → הנדרש. תקף לכל המקרים.
משפט הדגל: ישר ניצב למישור $⟺$ מאונך לשני ישרים לא מקבילים בו. ההוכחה: כל וקטור במישור הוא $s d_{1} + t d_{2}$ , ולכן $n \cdot w = 0$ .
משפטים מוכרים מחדש: אלכסוני מעוין ניצבים ( $∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = 0$ ); פיתגורס ( $∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}$ כש- $a \cdot b = 0$ ); זווית על קוטר ישרה ( $∣ p ∣^{2} - ∣ r ∣^{2} = 0$ ).

זכרו: ניצבות לישר יחיד אינה מספיקה — דרושים שני כיוונים בלתי תלויים שפורשים את המישור.

בכך השלמנו את היחידה: מהגדרת המכפלה הסקלרית, דרך חישובי זוויות ואורכים, ועד הוכחות גאומטריות בכלים וקטוריים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הוכחות וקטוריות, על משפט הניצבות למישור ועל ניסוח מחדש של משפטים מוכרים!

הוכחת משפטים גאומטריים בכלים וקטוריים

הוכחת משפטים גאומטריים בכלים וקטוריים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחה וקטורית — אלכסוני מעוין ניצבים

הוכיחו בכלים וקטוריים: במעוין האלכסונים ניצבים זה לזה.

דוגמה 2: הוכחה וקטורית — משפט פיתגורס

הוכיחו בכלים וקטוריים את משפט פיתגורס: במשולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

דוגמה 3: בדיקת ניצבות לישר במקרה קונקרטי

ישר בכיוון n=(2,3,−1)n=(2,3,-1)n=(2,3,−1). האם הוא ניצב למישור הפרוש על ידי d1=(1,1,5)d_{1}=(1,1,5)d1​=(1,1,5) ו-d2=(1,−1,−1)d_{2}=(1,-1,-1)d2​=(1,−1,−1)?

דוגמה 4: הזווית הנשענת על קוטר היא ישרה (תאלס)

הוכיחו בכלים וקטוריים: זווית היקפית הנשענת על קוטר במעגל היא ישרה.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מסיקים ניצבות למישור מניצבות לישר יחיד בו

טעות נפוצה: 'מוכיחים' על דוגמה מספרית אחת

טעות נפוצה: שוכחים שתנאי הניצבות מניח וקטורים שאינם אפס

סיכום

תרגול נוסף

ישר בכיוון $n=(2,3,-1)$ . האם הוא ניצב למישור הפרוש על ידי $d_{1}=(1,1,5)$ ו- $d_{2}=(1,-1,-1)$ ?