הגדרת המכפלה הסקלרית

מבוא

עד כה הכרתם שתי פעולות על וקטורים שתוצאתן וקטור: חיבור שני וקטורים, וכפל וקטור בסקלר. בשיעור זה נכיר פעולה מסוג חדש לגמרי — המכפלה הסקלרית — שלוקחת שני וקטורים ומחזירה מספר יחיד. דווקא העובדה שהתוצאה איננה וקטור היא שהופכת את הפעולה לכלי כה חזק: המספר הזה אוצר בתוכו מידע על הזווית שבין הווקטורים ועל אורכיהם, ובהמשך היחידה הוא יאפשר לנו לחשב זוויות, אורכים ואף להוכיח משפטים גאומטריים.

מטרות השיעור

להגדיר את המכפלה הסקלרית: $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α$
להבחין בין הפעולה (בין שני וקטורים) לבין התוצאה (מספר/סקלר)
לגזור את הקשר $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$
להבין את תנאי הניצבות: $u \cdot v = 0$ אם ורק אם הווקטורים מאונכים
להכיר את התכונות (חילופיות ופילוג) ואת הנוסחה האלגברית במרחב

הרעיון המרכזי

הגדרת המכפלה הסקלרית

תהי $α$ הזווית בין שני וקטורים $u$ ו- $v$ (כאשר $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ ). המכפלה הסקלרית שלהם מוגדרת כך:

u \cdot v = ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣ \cdot cos α

שימו לב היטב: סימן הכפל באגף שמאל ( $u \cdot v$ ) מייצג פעולה חדשה בין שני וקטורים, ואילו סימני הכפל באגף ימין הם כפל רגיל בין מספרים — שכן $∣ u ∣$ , $∣ v ∣$ ו- $cos α$ כולם מספרים. התוצאה של הפעולה כולה היא מספר ממשי יחיד (סקלר), ולא וקטור. מכאן השם "מכפלה סקלרית".

סימן המכפלה והזווית

מאחר ש- $∣ u ∣ > 0$ ו- $∣ v ∣ > 0$ עבור וקטורים שאינם וקטור האפס, הסימן של המכפלה הסקלרית נקבע כולו על ידי $cos α$ :

אם $α$ זווית חדה ( $0^{\circ} \leq α < 9 0^{\circ}$ ) אז $cos α > 0$ והמכפלה חיובית.
אם $α = 9 0^{\circ}$ אז $cos 9 0^{\circ} = 0$ והמכפלה שווה אפס.
אם $α$ זווית קהה ( $9 0^{\circ} < α \leq 18 0^{\circ}$ ) אז $cos α < 0$ והמכפלה שלילית.

שתי תכונות יסוד: $u \cdot u$ ותנאי הניצבות

1. וקטור כפול עצמו. נציב $v = u$ . הזווית בין וקטור לעצמו היא $0^{\circ}$ ו- $cos 0^{\circ} = 1$ , ולכן:

u \cdot u = ∣ u ∣ ∣ u ∣ cos 0^{\circ} = ∣ u ∣^{2}

זהו הגשר בין המכפלה הסקלרית לאורך: $∣ u ∣ = u \cdot u$ .

2. תנאי הניצבות. עבור שני וקטורים שאינם וקטור האפס, $u \cdot v = 0$ אם ורק אם $cos α = 0$ , כלומר $α = 9 0^{\circ}$ . לכן:

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

זהו הכלי המרכזי שבעזרתו נוכיח בהמשך ניצבות בכלים וקטוריים.

תכונות ונוסחה אלגברית

מההגדרה נובעות התכונות הבאות (לכל וקטורים $u, v, w$ וסקלר t):

חילופיות: $u \cdot v = v \cdot u$ (כי $cos α$ וכפל מספרים אינם תלויים בסדר).
הוצאת סקלר: $(t u) \cdot v = t (u \cdot v)$ .
פילוג: $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ .

כאשר הווקטורים נתונים בהצגה אלגברית במרחב, $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ ו- $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , מתקבלת הנוסחה השקולה:

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}

ושתי ההגדרות (הגאומטרית $∣ u ∣∣ v ∣ cos α$ והאלגברית) מתלכדות תמיד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב ישיר מההגדרה הגאומטרית

נתון $|u|=5, |v|=4$ והזווית ביניהם $\alpha =60^{\circ}$ . חשבו את $u \cdot v$ .

u \cdot v = 5 \cdot 4 \cdot cos 6 0^{\circ} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10

שלב 1 — כותבים את ההגדרה

u \cdot v = |u| \cdot |v| \cdot \cos \alpha

דוגמה 2: מכפלה סקלרית מההצגה האלגברית

נתונים $u=(2,-1,2)$ ו- $v=(1,2,2)$ . חשבו את $u \cdot v$ .

u \cdot v = 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 2 - 2 + 4 = 4

שלב 1 — נוסחה אלגברית

u \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}

תשובה מספרית

נתון $|u|=5, |v|=4$ והזווית בין הווקטורים היא $\alpha =60^{\circ}$ . חשבו את המכפלה הסקלרית $u \cdot v$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונים הווקטורים $u=(2,-1,2)$ ו- $v=(1,2,2)$ . חשבו את המכפלה הסקלרית $u \cdot v$ לפי הנוסחה האלגברית.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: אורך וקטור באמצעות u·u

נתון $u=(2,-1,2)$ . חשבו את אורך הווקטור |u| באמצעות $u \cdot u$ .

u \cdot u = 4 + 1 + 4 = 9 \Rightarrow ∣ u ∣ = 9 = 3

שלב 1 — הקשר היסודי

לכל וקטור מתקיים

u \cdot u = |u|^{2}

, ולכן

|u| = \sqrt{u \cdot u}

דוגמה 4: בדיקת ניצבות

האם הווקטורים $u=(3,0,4)$ ו- $v=(0,5,0)$ ניצבים זה לזה?

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

שלב 1 — תנאי הניצבות

שני וקטורים (שאינם וקטור האפס) ניצבים אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה אפס.

בדיקה מהירה

איזה מבין זוגות הווקטורים הבאים מורכב משני וקטורים הניצבים זה לזה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

עבור איזה ערך של t הווקטורים $u=(2,3,-1)$ ו- $v=(1,t,1)$ ניצבים זה לזה? (הזינו ערך עשרוני, למשל $-0.33)$

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: זווית קהה ⟸ מכפלה שלילית

נתון $|u|=6, |v|=2$ , והווקטורים נמצאים על אותו ישר בכיוונים מנוגדים $(\alpha =180^{\circ})$ . חשבו את $u \cdot v$ .

u \cdot v = 6 \cdot 2 \cdot cos 18 0^{\circ} = 12 \cdot (- 1) = - 12

שלב 1 — מהי הזווית?

וקטורים בכיוונים מנוגדים יוצרים זווית של

180^{\circ}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שתוצאת המכפלה הסקלרית היא וקטור

טעות: "התשובה היא (2,-2,4)" עבור $u \cdot v$ של דוגמה 2.

נכון: מסכמים את הרכיבים למספר אחד: $u \cdot v = 2 - 2 + 4 = 4$ .

למה זה קורה?

השם 'מכפלה' והסימון בין שני וקטורים יוצרים רושם שהתוצאה היא גם היא וקטור.

איך מתקנים?

המכפלה הסקלרית מחזירה תמיד מספר (סקלר) יחיד. לכן אין משמעות לכתוב 'כיוון' לתוצאה, ואי אפשר לחבר אותה לוקטור.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הפעולה $u \cdot v$ לבין כפל המספרים $|u| \cdot |v|$

טעות: מניחים תמיד $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣$ .

נכון: רק אם הווקטורים מקבילים ובאותו כיוון ( $cos α = 1$ ). באופן כללי יש להכפיל גם ב- $cos α$ .

למה זה קורה?

באותה הגדרה מופיעים שני סוגי 'כפל' עם אותו סימן.

איך מתקנים?

אגף שמאל

u \cdot v

הוא פעולה בין וקטורים; אגף ימין

|u| \cdot |v| \cdot \cos \alpha

הוא כפל בין שלושה מספרים. רק כאשר

\alpha =0^{\circ}

מתקיים

u \cdot v=|u||v|

טעות נפוצה: מסיקים מ- $u \cdot v=0$ שאחד הווקטורים הוא וקטור האפס

טעות: "אם $u \cdot v = 0$ אז $u = 0$ או $v = 0$ ."

נכון: למשל $(3, 0, 4) \cdot (0, 5, 0) = 0$ ושני הווקטורים אינם אפס — הם פשוט ניצבים.

למה זה קורה?

אם מכפלת מספרים שווה אפס, אחד הגורמים מתאפס — וגוררים את האינטואיציה הזו לוקטורים.

איך מתקנים?

עבור וקטורים שאינם וקטור האפס

, u \cdot v=0

פירושו

\cos \alpha =0

, כלומר

\alpha =90^{\circ}

— הווקטורים ניצבים. אין צורך שאחד מהם יתאפס.

סיכום

מה למדנו?

המכפלה הסקלרית היא פעולה בין שני וקטורים שתוצאתה מספר:

ההגדרה הגאומטרית: $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α$ .
הסימן נקבע על ידי $cos α$ : חיובי בזווית חדה, אפס בניצבות, שלילי בזווית קהה.
וקטור כפול עצמו: $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ , ומכאן $∣ u ∣ = u \cdot u$ .
תנאי הניצבות: $u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v$ .
נוסחה אלגברית במרחב: $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}$ .

בשיעור הבא נשתמש בהגדרה כדי לחשב זוויות ואורכים, ובשיעור שלאחריו — להוכיח משפטים גאומטריים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ההגדרה, על הקשר u·u=|u|² ועל תנאי הניצבות!

הגדרת המכפלה הסקלרית

הגדרת המכפלה הסקלרית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב ישיר מההגדרה הגאומטרית

נתון ∣u∣=5,∣v∣=4|u|=5, |v|=4∣u∣=5,∣v∣=4 והזווית ביניהם α=60∘\alpha =60^{\circ}α=60∘. חשבו את u⋅vu \cdot vu⋅v.

דוגמה 2: מכפלה סקלרית מההצגה האלגברית

נתונים u=(2,−1,2)u=(2,-1,2)u=(2,−1,2) ו-v=(1,2,2)v=(1,2,2)v=(1,2,2). חשבו את u⋅vu \cdot vu⋅v.

דוגמה 3: אורך וקטור באמצעות u·u

נתון u=(2,−1,2)u=(2,-1,2)u=(2,−1,2). חשבו את אורך הווקטור |u| באמצעות u⋅uu \cdot uu⋅u.

דוגמה 4: בדיקת ניצבות

האם הווקטורים u=(3,0,4)u=(3,0,4)u=(3,0,4) ו-v=(0,5,0)v=(0,5,0)v=(0,5,0) ניצבים זה לזה?

דוגמה 5: זווית קהה ⟸ מכפלה שלילית

נתון ∣u∣=6,∣v∣=2|u|=6, |v|=2∣u∣=6,∣v∣=2, והווקטורים נמצאים על אותו ישר בכיוונים מנוגדים (α=180∘)(\alpha =180^{\circ})(α=180∘). חשבו את u⋅vu \cdot vu⋅v.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שתוצאת המכפלה הסקלרית היא וקטור

טעות נפוצה: מבלבלים בין הפעולה u⋅vu \cdot vu⋅v לבין כפל המספרים ∣u∣⋅∣v∣|u| \cdot |v|∣u∣⋅∣v∣

טעות נפוצה: מסיקים מ-u⋅v=0u \cdot v=0u⋅v=0 שאחד הווקטורים הוא וקטור האפס

סיכום

תרגול נוסף

נתון $|u|=5, |v|=4$ והזווית ביניהם $\alpha =60^{\circ}$ . חשבו את $u \cdot v$ .

נתונים $u=(2,-1,2)$ ו- $v=(1,2,2)$ . חשבו את $u \cdot v$ .

נתון $u=(2,-1,2)$ . חשבו את אורך הווקטור |u| באמצעות $u \cdot u$ .

האם הווקטורים $u=(3,0,4)$ ו- $v=(0,5,0)$ ניצבים זה לזה?

נתון $|u|=6, |v|=2$ , והווקטורים נמצאים על אותו ישר בכיוונים מנוגדים $(\alpha =180^{\circ})$ . חשבו את $u \cdot v$ .

טעות נפוצה: מבלבלים בין הפעולה $u \cdot v$ לבין כפל המספרים $|u| \cdot |v|$

טעות נפוצה: מסיקים מ- $u \cdot v=0$ שאחד הווקטורים הוא וקטור האפס