עד כה ראינו וקטורים כקטעים מכוונים, ולמדנו עליהם שתי פעולות: חיבור וקטורים, וכפל וקטור בסקלר (מספר ממשי). מתברר ששתי הפעולות האלה מצייתות למערכת חוקים קבועה. אוסף הווקטורים, יחד עם שתי הפעולות והחוקים שהן מקיימות, נקרא מרחב וקטורי. החוקים עצמם נקראים אקסיומות — אבני היסוד שמהן נגזרת כל תורת הווקטורים.

נחלק את האקסיומות לשתי משפחות: תכונות החיבור, ותכונות הכפל בסקלר.

לכל שלושה וקטורים $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$:

1. סגירות: סכום של כל שני וקטורים הוא וקטור.
2. חילוף (קומוטטיביות): $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.
3. קיבוץ (אסוציאטיביות): $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$.
4. קיום איבר האפס: קיים וקטור $\vec{0}$ כך שלכל $\vec{u}$ מתקיים $\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$. (גאומטרית $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.)
5. קיום איבר נגדי: לכל $\overrightarrow{AB}$ קיים וקטור נגדי $\overrightarrow{BA}$ כך ש-$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$, ולכן מסמנים $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

לכל וקטורים $\vec{u},\vec{v}$ ולכל סקלרים (מספרים ממשיים) s, t:

6. סגירות: $a\vec{u}$ הוא וקטור (לכל סקלר a).
7. כפל ב-1: $1\cdot \vec{u}=\vec{u}$.
8. קיבוץ הסקלרים: $s\cdot (t\cdot \vec{u})=(s\cdot t)\cdot \vec{u}$.
9. שני חוקי פילוג:
   • פילוג סכום סקלרים על וקטור: $(s+t)\cdot \vec{u}=s\cdot \vec{u}+t\cdot \vec{u}$.
   • פילוג סקלר על סכום וקטורים: $t\cdot (\vec{u}+\vec{v})=t\cdot \vec{u}+t\cdot \vec{v}$.

שני חוקי הפילוג הם אקסיומות נפרדות — באחד מתפלג סכום של שני סקלרים, ובשני מתפלג סקלר על סכום של שני וקטורים.