קולינאריות וקופלנאריות בעזרת צירופים לינאריים

מבוא

מטרות השיעור

להוכיח ולהפעיל את מבחן הקולינאריות: $v = a A B$ אם ורק אם $v$ על הישר AB או על ישר מקביל לו
להוכיח ולהפעיל את מבחן הקופלנאריות: וקטור הוא צירוף לינארי של $A B$ ו- $A C$ אם ורק אם הוא במישור ABC או במישור מקביל
להוכיח קולינאריות של נקודות בעזרת וקטורים מנקודה משותפת
לקבוע אם ישר נמצא במישור או מקביל לו לפי צירוף לינארי

הרעיון המרכזי

מבחן הקולינאריות (סעיף 6 בתוכנית)

לכל שתי נקודות שונות A, B ולכל סקלר $a \neq = 0$ : וקטור הוא מהצורה $a A B$ אם ורק אם הוא מונח על הישר AB או על ישר מקביל לו.

במילים אחרות: שני וקטורים קולינאריים ⟺ אחד מהם כפולה סקלרית של השני.

מבחן הקופלנאריות (סעיף 7 בתוכנית)

לכל שלוש נקודות A, B, C שאינן על ישר אחד: וקטור הוא צירוף לינארי של $A B$ ו- $A C$ — כלומר $w = s A B + t A C$ — אם ורק אם הוא מונח במישור ABC או במישור מקביל לו.

מסקנה חשובה: וקטור כזה אינו מאונך למישור — הוא מונח בו (או מקביל לו).

קולינאריות נקודות — תפקיד הנקודה המשותפת

כדי להראות ש-M, N, P על ישר אחד, מביעים שני וקטורים מאותה נקודה (למשל $MN$ ו- $MP$ ) ומראים $MN = t MP$ . הנקודה המשותפת M היא שמבטיחה שהקטעים על אותו ישר ולא רק על ישרים מקבילים. בלי נקודה משותפת — קולינאריות הווקטורים נותנת רק מקבילות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת מבחן הקולינאריות (כיוון "אם")

הוכיחו: אם $v⃗ = a \cdot AB⃗ (a \ne 0)$ , אז הווקטור v⃗ מקביל לישר AB (או מונח עליו).

A P = a A B \Rightarrow P \in הישר A B

שלב 1 — הנחה

נתון

v⃗ = a \cdot AB⃗

עם

a \ne 0

. נסמן את קצה v⃗ היוצא מ-A בנקודה P, כך ש-

AP⃗ = v⃗ = a \cdot AB⃗

בדיקה מהירה

כדי להוכיח ששלוש הנקודות M, N, P נמצאות על ישר אחד, מה צריך להראות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הוכחת קולינאריות של נקודות

במשולש OAB: M על OA כך ש- $OM⃗ = \frac{1}{3}OA⃗$ , ו-N על OB כך ש- $ON⃗ = \frac{1}{3}OB⃗$ . הוכיחו ש-MN ∥ AB.

MN = \frac{1}{3} (b - a) = \frac{1}{3} A B

שלב 1 — בסיס

נסמן

OA⃗ = a⃗, OB⃗ = b⃗ (

בלתי-תלויים, כי O, A, B אינם על ישר אחד).

דוגמה 3: בדיקת קופלנאריות (האם הנקודה במישור?)

A, B, C אינן על ישר אחד; n⃗ אינו במישור ABC. נתון $AD⃗ = 2 \cdot AB⃗ + 5 \cdot AC⃗ + k \cdot n⃗$ . עבור איזה k הנקודה D במישור ABC?

k = 0 \Rightarrow A D = 2 A B + 5 A C \in מישור A BC

שלב 1 — תנאי הקופלנאריות

D במישור ABC ⟺ AD⃗ צירוף לינארי של AB⃗ ו-AC⃗ בלבד (כי A במישור).

תשובה מספרית

נתון $AD⃗ = 3 \cdot AB⃗ - 2 \cdot AC⃗ + k \cdot n⃗$ , כאשר n⃗ הוא וקטור שאינו במישור ABC (A, B, C אינן על ישר אחד). עבור איזה ערך של k הנקודה D נמצאת במישור ABC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: בדיקת קולינאריות בבסיס (השוואת מקדמים)

בבסיס u⃗, v⃗ (בלתי-תלויים) $: MN⃗ = 3u⃗ - 6v⃗, MP⃗ = -u⃗ + 2v⃗$ . האם M, N, P על ישר אחד?

MN = - 3 MP \Rightarrow M, N, P קולינאריות

חשוב לאמת את t בכל הרכיבים — בדיקה ברכיב אחד אינה מספיקה.

שלב 1 — מחפשים t

נבדוק אם

MN⃗ = t \cdot MP⃗: 3u⃗ - 6v⃗ = t(-u⃗ + 2v⃗) = -t \cdot u⃗ + 2t \cdot v⃗

בדיקה מהירה

נתון (בבסיס $u⃗, v⃗): MN⃗ = 2u⃗ + v⃗$ ו- $MP⃗ = 4u⃗ + 2v⃗$ . האם M, N, P על ישר אחד?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון (בבסיס $u⃗, v⃗): MN⃗ = 3u⃗ - 6v⃗$ ו- $MP⃗ = -u⃗ + 2v⃗$ . הנקודות M, N, P על ישר אחד, ולכן $MN⃗ = t \cdot MP⃗$ . מהו ערך t?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מסיקים קולינאריות נקודות בלי נקודה משותפת

$MN = t A B$ נותן $MN ∥ A B$ ; כדי ש-M,N,A,B על ישר אחד צריך נקודה משותפת.

למה זה קורה?

חושבים ש-

MN⃗ = t \cdot AB⃗

מספיק כדי שהנקודות יהיו על ישר אחד.

איך מתקנים?

קולינאריות וקטורים בלי נקודה משותפת נותנת רק מקבילות. לקולינאריות נקודות חייבים שני וקטורים מאותה נקודה.

טעות נפוצה: חושבים שצירוף לינארי של שני וקטורי מישור מאונך למישור

$w = s A B + t A C$ מונח במישור ABC — לא מאונך לו.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'מונח במישור' ל'מאונך למישור'.

איך מתקנים?

וקטור שהוא צירוף לינארי של שני וקטורים המגדירים מישור — מונח במישור (או מקביל לו), ולא מאונך לו.

טעות נפוצה: בודקים קולינאריות לפי רכיב אחד בלבד

$3 u - 6 v$ ו- $- u + 2 v$ : היחס t = -3 תקף לשני הרכיבים — ולכן קולינאריים.

למה זה קורה?

מוצאים יחס מתאים ברכיב אחד ומסיקים מיד קולינאריות.

איך מתקנים?

היחס t חייב להיות זהה בכל הרכיבים. אם ברכיב אחד

t = 2

ובאחר

t = 3

— הווקטורים אינם קולינאריים.

סיכום

מה למדנו?

קולינאריות וקופלנאריות:

מבחן קולינאריות: $v = a A B$ ⟺ על הישר AB או מקביל לו.
מבחן קופלנאריות: $w = s A B + t A C$ ⟺ במישור ABC או מקביל לו.
קולינאריות נקודות: $MN = t MP$ + נקודה משותפת.
צירוף לינארי של שני וקטורי מישור — מונח בו, לא מאונך.

זכרו: בלי נקודה משותפת — רק מקבילות; ואת היחס מאמתים בכל הרכיבים.

בשיעור האחרון נוכיח את משפט יחידות ההצגה ונשתמש בו ליחסי קטעים ולהוכחות גאומטריות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן במבחני קולינאריות וקופלנאריות ובהוכחות גאומטריות!

קולינאריות וקופלנאריות בעזרת צירופים לינאריים

קולינאריות וקופלנאריות בעזרת צירופים לינאריים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת מבחן הקולינאריות (כיוון "אם")

הוכיחו: אם v⃗=a⋅AB⃗(a≠0)v⃗ = a \cdot AB⃗ (a \ne 0)v⃗=a⋅AB⃗(a=0), אז הווקטור v⃗ מקביל לישר AB (או מונח עליו).

דוגמה 2: הוכחת קולינאריות של נקודות

במשולש OAB: M על OA כך ש-OM⃗=13OA⃗OM⃗ = \frac{1}{3}OA⃗OM⃗=31​OA⃗, ו-N על OB כך ש-ON⃗=13OB⃗ON⃗ = \frac{1}{3}OB⃗ON⃗=31​OB⃗. הוכיחו ש-MN ∥ AB.

דוגמה 3: בדיקת קופלנאריות (האם הנקודה במישור?)

A, B, C אינן על ישר אחד; n⃗ אינו במישור ABC. נתון AD⃗=2⋅AB⃗+5⋅AC⃗+k⋅n⃗AD⃗ = 2 \cdot AB⃗ + 5 \cdot AC⃗ + k \cdot n⃗AD⃗=2⋅AB⃗+5⋅AC⃗+k⋅n⃗. עבור איזה k הנקודה D במישור ABC?

דוגמה 4: בדיקת קולינאריות בבסיס (השוואת מקדמים)

בבסיס u⃗, v⃗ (בלתי-תלויים):MN⃗=3u⃗−6v⃗,MP⃗=−u⃗+2v⃗: MN⃗ = 3u⃗ - 6v⃗, MP⃗ = -u⃗ + 2v⃗:MN⃗=3u⃗−6v⃗,MP⃗=−u⃗+2v⃗. האם M, N, P על ישר אחד?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מסיקים קולינאריות נקודות בלי נקודה משותפת

טעות נפוצה: חושבים שצירוף לינארי של שני וקטורי מישור מאונך למישור

טעות נפוצה: בודקים קולינאריות לפי רכיב אחד בלבד

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: אם $v⃗ = a \cdot AB⃗ (a \ne 0)$ , אז הווקטור v⃗ מקביל לישר AB (או מונח עליו).

במשולש OAB: M על OA כך ש- $OM⃗ = \frac{1}{3}OA⃗$ , ו-N על OB כך ש- $ON⃗ = \frac{1}{3}OB⃗$ . הוכיחו ש-MN ∥ AB.

A, B, C אינן על ישר אחד; n⃗ אינו במישור ABC. נתון $AD⃗ = 2 \cdot AB⃗ + 5 \cdot AC⃗ + k \cdot n⃗$ . עבור איזה k הנקודה D במישור ABC?

בבסיס u⃗, v⃗ (בלתי-תלויים) $: MN⃗ = 3u⃗ - 6v⃗, MP⃗ = -u⃗ + 2v⃗$ . האם M, N, P על ישר אחד?