תלות ואי-תלות לינארית

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר מתי וקטור תלוי לינארית בקבוצת וקטורים, ומתי קבוצה היא בלתי-תלויה לינארית
לנסח ולהבין את הקריטריון השקול: צירוף לינארי המתאפס מחייב מקדמים אפס
לדעת ששני וקטורים תלויים ⟺ הם קולינאריים
להבין ששלושה וקטורים במישור תמיד תלויים, ושכל ארבעה וקטורים במרחב תלויים
לזהות שקבוצה המכילה את וקטור האפס היא תמיד תלויה

הרעיון המרכזי

הגדרה: תלות ואי-תלות לינארית

וקטור נקרא תלוי-לינארית בקבוצת וקטורים אם ניתן להביעו כצירוף לינארי של הווקטורים בקבוצה.

קבוצת וקטורים נקראת בלתי-תלויה לינארית אם אף וקטור בה אינו ניתן להבעה כצירוף לינארי של האחרים. אחרת הקבוצה תלויה לינארית.

הקריטריון השקול (הכלי המעשי)

קבוצה ${u, v}$ היא בלתי-תלויה לינארית אם ורק אם: $a u + b v = 0 ⟹ a = 0 וגם b = 0$

כלומר, הדרך היחידה לקבל את וקטור האפס היא עם כל המקדמים אפס (הצירוף הטריוויאלי). אם קיים צירוף לא-טריוויאלי (לפחות מקדם אחד שונה מאפס) המתאפס — הקבוצה תלויה. זהו הניסוח שבו נשתמש כמעט תמיד, כי הוא מאפשר השוואת מקדמים.

כמה וקטורים בלתי-תלויים אפשר למצוא?

על ישר: לכל היותר אחד.
במישור: לכל היותר שניים — ולכן כל שלושה וקטורים במישור תלויים לינארית.
במרחב: לכל היותר שלושה — ולכן כל ארבעה וקטורים במרחב תלויים לינארית.

מספר זה (1, 2, 3) הוא הממד של המרחב הנפרש. נחזור לכך בשיעור על יחידות ההצגה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני וקטורים — תלות שקולה לקולינאריות

הוכיחו: {u⃗, v⃗} תלויה לינארית אם ורק אם u⃗ ו-v⃗ קולינאריים (אחד כפולה של השני).

{u, v} תלויה ⟺ v = t u עבור סקלר t

שלב 1 — כיוון ראשון

נניח תלות: קיים צירוף לא-טריוויאלי

a \cdot u⃗ + b \cdot v⃗ = 0⃗

. נניח

b \ne 0 (

אחרת

a \ne 0

ונחליף תפקידים). אז

v⃗ = (-\frac{a}{b}) \cdot u⃗

— כלומר v⃗ כפולה של u⃗, והם קולינאריים.

בדיקה מהירה

איזה תנאי מגדיר נכון שקבוצת הווקטורים {u⃗, v⃗} היא בלתי-תלויה לינארית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: זיהוי תלות לפי הגדרה

נתון $w⃗ = u⃗ + v⃗$ . הראו שהקבוצה {u⃗, v⃗, w⃗} תלויה לינארית.

1 \cdot u + 1 \cdot v - 1 \cdot w = 0

שלב 1 — מזהים צירוף

הווקטור w⃗ הוא בדיוק הצירוף הלינארי

u⃗ + v⃗

של שני האחרים.

בדיקה מהירה

נתון ש- $v⃗ = 2u⃗ ($ כאשר $u⃗ \ne 0⃗)$ . מה ניתן לומר על הקבוצה {u⃗, v⃗}?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: השוואת מקדמים (אי-תלות בפעולה)

u⃗, v⃗ בלתי-תלויים. נתון $(2k - 6) \cdot u⃗ + (k + m) \cdot v⃗ = 0⃗$ . מצאו את k ואת m.

2 k - 6 = 0 \Rightarrow k = 3, k + m = 0 \Rightarrow m = - 3

הלקח המרכזי: באי-תלות כל מקדם מתאפס בנפרד, ולכן מקבלים מערכת משוואות שפותרים אותה.

שלב 1 — מפעילים את הקריטריון

אי-תלות ⟸ כל מקדם בנפרד מתאפס:

2k - 6 = 0

וגם

k + m = 0

תשובה מספרית

נתון ש-u⃗ ו-v⃗ בלתי-תלויים לינארית, ומתקיים $(2a - 4) \cdot u⃗ + (3 - b) \cdot v⃗ = 0⃗$ . מהו ערך a?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: וקטור האפס תמיד יוצר תלות

הוכיחו שכל קבוצה המכילה את וקטור האפס היא תלויה לינארית.

1 \cdot 0 + 0 \cdot w = 0, מקדם 1 \neq = 0

שלב 1 — הקבוצה

תהי הקבוצה {0⃗, w⃗} (או כל קבוצה שבה אחד הווקטורים הוא 0⃗).

בדיקה מהירה

בחירה מרובה

u⃗ ו-v⃗ בלתי-תלויים, ו-w⃗ אינו במישור שלהם. אילו מהקבוצות הבאות הן תלויות לינארית? (סמנו את כל הנכונות)

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאי-תלות פירושה ניצבות

שני וקטורים בזווית $6 0^{\circ}$ אינם מאונכים, אך הם בלתי-תלויים (לא קולינאריים).

למה זה קורה?

מערבבים בין 'לא קולינאריים' לבין 'מאונכים'.

איך מתקנים?

אי-תלות דורשת רק שאף וקטור לא יהיה צירוף של האחרים. וקטורים יכולים להיות בלתי-תלויים בלי להיות מאונכים (למשל בזווית

60^{\circ})

טעות נפוצה: שוכחים שווקטור האפס בקבוצה ⟸ תלות

${0, u, v}$ תלויה תמיד — בלי קשר ל- $u, v$ .

למה זה קורה?

מתמקדים רק בשאר הווקטורים.

איך מתקנים?

כל קבוצה המכילה את 0⃗ תלויה לינארית, כי

1 \cdot 0⃗ = 0⃗

הוא צירוף לא-טריוויאלי המתאפס.

טעות נפוצה: מניחים ששלושה וקטורים שונים הם בלתי-תלויים

$u, v, u + v$ שונים זה מזה אך תלויים לינארית.

למה זה קורה?

חושבים ש'שונים' ⟸ 'בלתי-תלויים'.

איך מתקנים?

במישור כל שלושה וקטורים תלויים, אפילו אם הם שונים זה מזה. תלות נקבעת לפי קיום צירוף, לא לפי שוויון.

סיכום

מה למדנו?

תלות ואי-תלות לינארית:

תלות: וקטור הוא צירוף לינארי של האחרים ⟺ קיים צירוף לא-טריוויאלי מתאפס.
אי-תלות (קריטריון): $a u + b v = 0 \Rightarrow a = b = 0$ — מאפשר השוואת מקדמים.
שני וקטורים תלויים ⟺ קולינאריים.
במישור: כל שלושה תלויים. במרחב: כל ארבעה תלויים.
קבוצה עם וקטור האפס — תמיד תלויה.

זכרו: אי-תלות ≠ ניצבות.

בשיעור הבא נתרגם זאת לגאומטריה: מבחני קולינאריות וקופלנאריות בעזרת צירופים לינאריים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן בזיהוי תלות ואי-תלות ובהשוואת מקדמים!

תלות ואי-תלות לינארית

תלות ואי-תלות לינארית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני וקטורים — תלות שקולה לקולינאריות

הוכיחו: {u⃗, v⃗} תלויה לינארית אם ורק אם u⃗ ו-v⃗ קולינאריים (אחד כפולה של השני).

דוגמה 2: זיהוי תלות לפי הגדרה

נתון w⃗=u⃗+v⃗w⃗ = u⃗ + v⃗w⃗=u⃗+v⃗. הראו שהקבוצה {u⃗, v⃗, w⃗} תלויה לינארית.

דוגמה 3: השוואת מקדמים (אי-תלות בפעולה)

u⃗, v⃗ בלתי-תלויים. נתון (2k−6)⋅u⃗+(k+m)⋅v⃗=0⃗(2k - 6) \cdot u⃗ + (k + m) \cdot v⃗ = 0⃗(2k−6)⋅u⃗+(k+m)⋅v⃗=0⃗. מצאו את k ואת m.

דוגמה 4: וקטור האפס תמיד יוצר תלות

הוכיחו שכל קבוצה המכילה את וקטור האפס היא תלויה לינארית.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאי-תלות פירושה ניצבות

טעות נפוצה: שוכחים שווקטור האפס בקבוצה ⟸ תלות

טעות נפוצה: מניחים ששלושה וקטורים שונים הם בלתי-תלויים

סיכום

תרגול נוסף

נתון $w⃗ = u⃗ + v⃗$ . הראו שהקבוצה {u⃗, v⃗, w⃗} תלויה לינארית.

u⃗, v⃗ בלתי-תלויים. נתון $(2k - 6) \cdot u⃗ + (k + m) \cdot v⃗ = 0⃗$ . מצאו את k ואת m.