צירוף לינארי של וקטורים

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר צירוף לינארי של וקטורים: $a u + b v$ (ובמרחב $a u + b v + c w$ )
להשתמש בכלל המסלול ובזהות "ראש פחות זנב" $A B = OB - O A$
להביע אלכסונים, תיכונים וקטעי אמצעים בצורות מישוריות ובגופים מרחביים כצירוף לינארי של וקטורי בסיס
להשתמש בצירופים לינאריים ככלי לפתרון בעיות גאומטריות

הרעיון המרכזי

הגדרה: צירוף לינארי

בהינתן וקטורים $u, v$ , כל וקטור מהצורה $a u + b v$ (כאשר a, b סקלרים — מספרים ממשיים) נקרא צירוף לינארי של $u$ ו- $v$ . באופן דומה, צירוף לינארי של שלושה וקטורים הוא $a u + b v + c w$ .

התוצאה היא תמיד וקטור (לא מספר), והיא משתנה כאשר משנים את הסקלרים. שתי הפעולות שכבר הכרנו — כפל בסקלר וחיבור וקטורים — מתאחדות כאן לביטוי אחד.

שני כלים בסיסיים להבעת וקטורים

כלל המסלול (שרשרת): לכל שלוש נקודות A, B, C מתקיים $A C = A B + BC$ . אפשר "לעבור" מנקודה לנקודה דרך נקודות ביניים.

ראש פחות זנב: לכל נקודת ייחוס (ראשית) O מתקיים $A B = OB - O A$ (נובע מ- $A B = A O + OB = - O A + OB$ ). זהו הכלי המרכזי להבעת וקטור בין שתי נקודות באמצעות וקטורי מקום.

הצגה כצירוף לינארי מלמדת על תכונות גאומטריות

ההצגה של וקטור כצירוף לינארי איננה רק תרגיל אלגברי — היא חושפת את מיקומו הגאומטרי. למשל, אם וקטור מתקבל כצירוף לינארי של שני וקטורי צלע מאותה נקודה, הוא מונח באותו מישור. נשתמש בכך לאורך היחידה כדי להוכיח קולינאריות, קופלנאריות ויחסי קטעים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אלכסוני מקבילית

במקבילית $ABCD: AB⃗ = u⃗, AD⃗ = v⃗$ . הביעו את האלכסונים AC⃗ ו-BD⃗.

A C = u + v, B D = v - u

שלב 1 — אלכסון ראשון (כלל המקבילית)

AC⃗ = AB⃗ + BC⃗

. במקבילית

BC⃗ = AD⃗ = v⃗

, ולכן

AC⃗ = u⃗ + v⃗

בדיקה מהירה

במקבילית ABCD נסמן $AB⃗ = u⃗$ ו- $AD⃗ = v⃗$ . מהו האלכסון AC⃗ כצירוף לינארי של u⃗ ו-v⃗?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

באותה מקבילית $ABCD (AB⃗ = u⃗, AD⃗ = v⃗)$ , מהו האלכסון BD⃗ כצירוף לינארי של u⃗ ו-v⃗?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: תיכון במשולש (קטע אמצעים)

במשולש $ABC: AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗$ , ו-M אמצע BC. הביעו את התיכון AM⃗.

A M = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v = \frac{1}{2} (u + v)

התיכון לצלע BC שווה לחצי סכום הצלעות היוצאות מ-A.

שלב 1 — מסלול דרך B

AM⃗ = AB⃗ + BM⃗

בדיקה מהירה

במשולש ABC נסמן $AB⃗ = u⃗$ ו- $AC⃗ = v⃗. M$ היא אמצע הצלע BC. מהו AM⃗ כצירוף לינארי של u⃗ ו-v⃗?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: וקטור בגוף מרחבי (מנסרה)

במנסרה משולשת $ABCA'B'C': AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗, AA'⃗ = w⃗$ . הביעו את A'C⃗ ואת B'C⃗.

A^{'} C = v - w, B^{'} C = - u + v - w

שלב 1 — A'C⃗ דרך A

A'C⃗ = A'A⃗ + AC⃗ = -w⃗ + v⃗ = v⃗ - w⃗. (

המסלול לא עבר דרך B, ולכן u⃗ אינו מופיע.)

דוגמה 4: חלוקת קטע ביחס נתון

על הקטע AB נקודה P עם $AP:PB = 2:1$ . נסמן $OA⃗ = a⃗, OB⃗ = b⃗ (O$ ראשית). הביעו את OP⃗.

OP = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b

שימו לב: סכום המקדמים הוא $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ — תכונה אופיינית לנקודה על הקטע AB.

שלב 1 — חלק מתוך הקטע

AB = AP + PB = 2 + 1 = 3

חלקים, ולכן

AP⃗ = \frac{2}{3}AB⃗

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון $OP⃗ = 3a⃗ - 2b⃗$ ו- $OQ⃗ = a⃗ + 4b⃗ (a⃗, b⃗$ וקטורים קבועים). הביעו את PQ⃗ כצירוף לינארי של a⃗ ו-b⃗. מהו המקדם של b⃗ בתוצאה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים את כיוון החיסור: $AB⃗ = OA⃗ - OB⃗$

$A B = OB - O A$ , ולא להפך. בדיקה: $AA = O A - O A = 0$ ✓.

למה זה קורה?

לא זוכרים את הסדר 'ראש פחות זנב'.

איך מתקנים?

הראש (היעד) הוא B, הזנב (המוצא) הוא A — ולכן

AB⃗ = OB⃗ - OA⃗

. תמיד היעד מינוס המוצא.

טעות נפוצה: חושבים שצירוף לינארי הוא מספר

$2 u + 3 v$ הוא וקטור, לא המספר 5.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין הסקלרים (מקדמים) לבין הווקטור המתקבל.

איך מתקנים?

הסקלרים a, b הם מספרים, אבל

a \cdot u⃗ + b \cdot v⃗

הוא וקטור. התוצאה משתנה כשמשנים את a ו-b.

טעות נפוצה: שוכחים שהיפוך סדר הנקודות הופך את הסימן

$C A = - A C$ ; במסלול A'→A כותבים $A^{'} A = - A A^{'}$ .

למה זה קורה?

מתייחסים ל-AC⃗ ו-CA⃗ כאל אותו וקטור.

איך מתקנים?

CA⃗ = -AC⃗

. בכל מסלול חשוב לכתוב את הווקטורים בכיוון הנכון, אחרת מתקבל סימן הפוך.

סיכום

מה למדנו?

צירוף לינארי:

צירוף לינארי הוא $a u + b v$ (במישור) או $a u + b v + c w$ (במרחב); התוצאה היא וקטור.
כלל המסלול: $A C = A B + BC$ .
ראש פחות זנב: $A B = OB - O A$ .
מביעים אלכסונים, תיכונים וקטעי אמצעים בצורות ובגופים כצירוף לינארי של וקטורי בסיס.

זכרו: היפוך סדר הנקודות הופך את הסימן ( $C A = - A C$ ).

בשיעור הבא נשאל מתי וקטורים הם בלתי-תלויים לינארית — ומדוע זה התנאי שמאפשר הצגה יחידה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הבעת אלכסונים, תיכונים וקטעים כצירוף לינארי של וקטורי בסיס!

צירוף לינארי של וקטורים

צירוף לינארי של וקטורים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אלכסוני מקבילית

במקבילית ABCD:AB⃗=u⃗,AD⃗=v⃗ABCD: AB⃗ = u⃗, AD⃗ = v⃗ABCD:AB⃗=u⃗,AD⃗=v⃗. הביעו את האלכסונים AC⃗ ו-BD⃗.

דוגמה 2: תיכון במשולש (קטע אמצעים)

במשולש ABC:AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗ABC: AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗ABC:AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗, ו-M אמצע BC. הביעו את התיכון AM⃗.

דוגמה 3: וקטור בגוף מרחבי (מנסרה)

במנסרה משולשת ABCA′B′C′:AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AA′⃗=w⃗ABCA'B'C': AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗, AA'⃗ = w⃗ABCA′B′C′:AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AA′⃗=w⃗. הביעו את A'C⃗ ואת B'C⃗.

דוגמה 4: חלוקת קטע ביחס נתון

על הקטע AB נקודה P עם AP:PB=2:1AP:PB = 2:1AP:PB=2:1. נסמן OA⃗=a⃗,OB⃗=b⃗(OOA⃗ = a⃗, OB⃗ = b⃗ (OOA⃗=a⃗,OB⃗=b⃗(O ראשית). הביעו את OP⃗.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים את כיוון החיסור: AB⃗=OA⃗−OB⃗AB⃗ = OA⃗ - OB⃗AB⃗=OA⃗−OB⃗

טעות נפוצה: חושבים שצירוף לינארי הוא מספר

טעות נפוצה: שוכחים שהיפוך סדר הנקודות הופך את הסימן

סיכום

תרגול נוסף

במקבילית $ABCD: AB⃗ = u⃗, AD⃗ = v⃗$ . הביעו את האלכסונים AC⃗ ו-BD⃗.

במשולש $ABC: AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗$ , ו-M אמצע BC. הביעו את התיכון AM⃗.

במנסרה משולשת $ABCA'B'C': AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗, AA'⃗ = w⃗$ . הביעו את A'C⃗ ואת B'C⃗.

על הקטע AB נקודה P עם $AP:PB = 2:1$ . נסמן $OA⃗ = a⃗, OB⃗ = b⃗ (O$ ראשית). הביעו את OP⃗.

טעות נפוצה: הופכים את כיוון החיסור: $AB⃗ = OA⃗ - OB⃗$