יחידות ההצגה ושימושיה הגאומטריים

מבוא

מטרות השיעור

להבין ששלושה וקטורים בלתי-תלויים פורשים את המרחב (וכל וקטור מוצג כצירוף לינארי שלהם)
להוכיח את משפט יחידות ההצגה: הצגה בעזרת קבוצה בלתי-תלויה היא יחידה
להשתמש ביחידות להשוואת מקדמים ולפתרון מערכות וקטוריות
ליישם את העיקרון למציאת יחסי קטעים ולהוכחת משפטים גאומטריים (למשל מפגש התיכונים)

הרעיון המרכזי

פרישת המרחב (סעיפים 8–9 בתוכנית)

שלושה וקטורים בלתי-תלויים לינארית פורשים את המרחב התלת-ממדי: כל וקטור במרחב ניתן לכתוב כצירוף לינארי $a A B + b A C + c A D$ , כאשר A, B, C, D אינן על מישור אחד.

לעומת זאת, כל ארבעה וקטורים במרחב תלויים לינארית, וכל שלושה וקטורים במישור תלויים. המספר המרבי של וקטורים בלתי-תלויים הוא הממד: 2 במישור, 3 במרחב.

משפט יחידות ההצגה (סעיף 10 בתוכנית)

אם הקבוצה בלתי-תלויה לינארית, אזי לכל וקטור הניתן להצגה כצירוף לינארי שלה — ההצגה יחידה:

במישור: כל וקטור מוצג יחידות בעזרת שני וקטורים בלתי-תלויים.
במרחב: כל וקטור מוצג יחידות בעזרת שלושה וקטורים בלתי-תלויים.

היחידות היא בדיוק מה שמאפשר השוואת מקדמים: אם $a_{1} u + b_{1} w = a_{2} u + b_{2} w$ , אז $a_{1} = a_{2}$ ו- $b_{1} = b_{2}$ .

הוכחת היחידות (בדרך השלילה)

נניח שלווקטור $v$ יש שתי הצגות בבסיס בלתי-תלוי ${u, w}$ : $v = a_{1} u + b_{1} w = a_{2} u + b_{2} w$

נחסר את ההצגות: $0 = (a_{1} - a_{2}) u + (b_{1} - b_{2}) w$

מאחר ש- ${u, w}$ בלתי-תלויים, צירוף לינארי שלהם מתאפס רק כשכל המקדמים אפס: $a_{1} - a_{2} = 0, b_{1} - b_{2} = 0 \Rightarrow a_{1} = a_{2}, b_{1} = b_{2}$

שתי ההצגות זהות — ולכן ההצגה יחידה. מ.ש.ל.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת מקדמים בעזרת יחידות

u⃗, w⃗ בלתי-תלויים. נתון $5u⃗ + 3w⃗ = (2x - 1)u⃗ + (y + 1)w⃗$ . מצאו את x ואת y.

2 x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3, y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2

שלב 1 — מפעילים יחידות

ההצגה בבסיס בלתי-תלוי יחידה, ולכן המקדמים שווים:

2x - 1 = 5

וגם

y + 1 = 3

דוגמה 2: יחס חלוקת קטע במפגש ישרים

במקבילית ABCD, M אמצע CD. הישר AM חותך את האלכסון BD בנקודה P. מצאו את היחס BP:PD.

t = \frac{2}{3} \Rightarrow BP = \frac{2}{3} B D, BP : P D = 2 : 1

שלב 1 — בסיס

A ראשית

, AB⃗ = u⃗, AD⃗ = v⃗ (

בלתי-תלויים). אז

AC⃗ = u⃗ + v⃗

, ו-

AM⃗ = \frac{1}{2}(AC⃗ + AD⃗) = \frac{1}{2}u⃗ + v⃗

תשובה מספרית

u⃗ ו-w⃗ בלתי-תלויים. אותו וקטור נתון בשתי הצגות: $v⃗ = 5u⃗ + 3w⃗$ וגם $v⃗ = (2x - 1)u⃗ + 3w⃗$ . מהו x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ABC, M אמצע BC. הצגת התיכון היא $AM⃗ = a \cdot AB⃗ + b \cdot AC⃗ ($ הצגה יחידה בבסיס AB⃗, AC⃗). מהו הסכום $a + b$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: משפט מפגש התיכונים (מרכז הכובד)

הוכיחו ששני תיכונים במשולש נחתכים בנקודה המחלקת כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.

A G = \frac{2}{3} A M \Rightarrow A G : GM = 2 : 1

זוהי הוכחה וקטורית מלאה של משפט מרכז הכובד — כוחו של עקרון יחידות ההצגה.

שלב 1 — בסיס

במשולש

ABC: AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗ (

בלתי-תלויים). M אמצע

BC ⟸ AM⃗ = \frac{1}{2}u⃗ + \frac{1}{2}v⃗. N

אמצע

AC ⟸ AN⃗ = \frac{1}{2}v⃗

תשובה מספרית

במשולש ABC, התיכון AM (M אמצע BC) והתיכון BN (N אמצע AC) נחתכים בנקודה G. בעזרת יחידות ההצגה בבסיס AB⃗, AC⃗ מתקבל $AG⃗ = \frac{2}{3}AM⃗$ . מהו היחס AG:GM (הזינו את הערך $\frac{AG}{GM})$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הצגה יחידה במרחב

בפירמידה $ABCD (AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AD⃗=w⃗$ בלתי-תלויים), G מרכז הכובד של פאה BCD. הביעו את AG⃗.

A G = \frac{1}{3} u + \frac{1}{3} v + \frac{1}{3} w

שלב 1 — מרכז כובד כממוצע

מרכז הכובד של משולש BCD מקיים, ביחס לראשית

A: AG⃗ = \frac{1}{3}(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗)

בדיקה מהירה

כמה וקטורים בלתי-תלויים לינארית דרושים כדי להציג באופן יחיד כל וקטור במרחב התלת-ממדי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים יחידות לכל קבוצה, גם תלויה

בקבוצה תלויה ${u, 2 u}$ אין הצגה יחידה — וגם לא ניתן להציג בה וקטור שמחוץ לישר.

למה זה קורה?

שוכחים שהיחידות נשענת על אי-תלות.

איך מתקנים?

אם הקבוצה תלויה, אותו וקטור עשוי להיות בעל אינסוף הצגות (או אף אחת). יחידות מובטחת רק לקבוצה בלתי-תלויה.

טעות נפוצה: פותרים בעיית יחסים בלי להשוות מקדמים בנפרד

מ- $\frac{1}{2} s = 1 - t$ ו-s = t מקבלים מערכת — לא משוואה אחת.

למה זה קורה?

משווים שתי הצגות אך לא מפרקים לרכיבים.

איך מתקנים?

כותבים את אותו וקטור בשתי דרכים בבסיס בלתי-תלוי, ואז משווים את מקדם u⃗ למקדם u⃗ ואת מקדם w⃗ למקדם w⃗ — מתקבלת מערכת משוואות.

טעות נפוצה: שוכחים שסכום המקדמים של נקודה על קטע הוא 1

$OP = \frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} OB$ : סכום המקדמים $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ ✓ — P על AB.

למה זה קורה?

לא מנצלים את אילוץ הקטע.

איך מתקנים?

נקודה P על הקטע AB מקיימת

OP⃗ = (1-k)OA⃗ + k \cdot OB⃗

, וסכום המקדמים

(1-k)+k = 1

. זה כלי בדיקה שימושי.

סיכום

מה למדנו?

יחידות ההצגה:

פרישה: 3 וקטורים בלתי-תלויים פורשים את המרחב; 2 פורשים מישור.
משפט היחידות: בבסיס בלתי-תלוי, ההצגה של כל וקטור יחידה (ההוכחה: חיסור שתי הצגות + אי-תלות).
השוואת מקדמים: $a_{1} u + b_{1} w = a_{2} u + b_{2} w \Rightarrow a_{1} = a_{2}, b_{1} = b_{2}$ .
שימושים: יחסי קטעים ומשפטים גאומטריים (מפגש תיכונים 2:1, חלוקת אלכסונים).

זכרו: היחידות נשענת על אי-תלות, ובבעיות יחסים פותרים מערכת מהשוואת מקדמים.

בכך השלמנו את יחידת התלות הלינארית ויחידות ההצגה — היסוד המופשט שעליו נשענת כל הגאומטריה הווקטורית בהמשך!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן ביחידות ההצגה, בהשוואת מקדמים ובהוכחות גאומטריות של יחסי קטעים!

יחידות ההצגה ושימושיה הגאומטריים

יחידות ההצגה ושימושיה הגאומטריים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת מקדמים בעזרת יחידות

u⃗, w⃗ בלתי-תלויים. נתון 5u⃗+3w⃗=(2x−1)u⃗+(y+1)w⃗5u⃗ + 3w⃗ = (2x - 1)u⃗ + (y + 1)w⃗5u⃗+3w⃗=(2x−1)u⃗+(y+1)w⃗. מצאו את x ואת y.

דוגמה 2: יחס חלוקת קטע במפגש ישרים

במקבילית ABCD, M אמצע CD. הישר AM חותך את האלכסון BD בנקודה P. מצאו את היחס BP:PD.

דוגמה 3: משפט מפגש התיכונים (מרכז הכובד)

הוכיחו ששני תיכונים במשולש נחתכים בנקודה המחלקת כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.

דוגמה 4: הצגה יחידה במרחב

בפירמידה ABCD(AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AD⃗=w⃗ABCD (AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AD⃗=w⃗ABCD(AB⃗=u⃗,AC⃗=v⃗,AD⃗=w⃗ בלתי-תלויים), G מרכז הכובד של פאה BCD. הביעו את AG⃗.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים יחידות לכל קבוצה, גם תלויה

טעות נפוצה: פותרים בעיית יחסים בלי להשוות מקדמים בנפרד

טעות נפוצה: שוכחים שסכום המקדמים של נקודה על קטע הוא 1

סיכום

תרגול נוסף

u⃗, w⃗ בלתי-תלויים. נתון $5u⃗ + 3w⃗ = (2x - 1)u⃗ + (y + 1)w⃗$ . מצאו את x ואת y.

בפירמידה $ABCD (AB⃗=u⃗, AC⃗=v⃗, AD⃗=w⃗$ בלתי-תלויים), G מרכז הכובד של פאה BCD. הביעו את AG⃗.