זוויות במצולעים

למה זה חשוב?

מצולעים הם בכל מקום סביבנו - מחמשים עד עשרים צלעות!

אנחנו משתמשים בתכונת זוויות המצולעים כל הזמן:

אדריכלות: מבנים מיוחדים - פנטגון, הקס גון - צריך לדעת את הזוויות
עיצוב: סמלים, לוגואים - לעתים קרובות בצורת מצולעים משוכללים
טבע: חלת הדבורים - משושים! כל זווית פנימית היא 120°
אמנות: פסיפסים - ריצוף עם משושים, מחומשים ועוד
גיימינג: קוביות משחק - D4 (ארבע צלעות), D6 (שש), D8 (שמונה), D12 (12), D20 (20)!

הבנת הנוסחה מאפשרת לנו לחשב זוויות במצולע עם כל מספר צלעות!

מבוא

שלום חברים!

למדנו:

משולש: 3 זוויות = 180°
מרובע: 4 זוויות = 360° (שני משולשים)

היום נגלה את הכלל הכללי - מה קורה במצולע עם n צלעות?

מה נלמד היום?

גזירת הנוסחה: סכום זוויות מצולע = (n-2) × 180°
הבנה למה זה (n-2) משולשים
בעיות ישירות: נתון n → מחשבים סכום זוויות
בעיות הפוכות: נתון סכום זוויות → מוצאים n
מצולע משוכלל: זווית פנימית אחת = $\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n}$
בעיות הפוכות במצולעים משוכללים: נתונה זווית → מוצאים n

גזירת הנוסחה - למה (n-2)×180°?

גזירת הנוסחה

שאלה: מצולע עם n צלעות - מה סכום הזוויות הפנימיות?

שיטה: חלוקה למשולשים

ניקח מצולע עם n צלעות (n קודקודים)
נבחר קודקוד אחד
נחבר אלכסונים מהקודקוד הזה לכל הקודקודים האחרים (מלבד השכנים הקרובים)
כמה אלכסונים? מהקודקוד אפשר לחבר ל-(n-3) קודקודים אחרים (לא לעצמו, לא לשני השכנים)
האלכסונים מחלקים את המצולע ל-משולשים
כמה משולשים? (n-2) משולשים!

מדוע (n-2)?

מצולע עם 3 צלעות (משולש): 0 אלכסונים → 1 משולש = (3-2)
מצולע עם 4 צלעות (מרובע): 1 אלכסון → 2 משולשים = (4-2)
מצולע עם 5 צלעות (מחומש): 2 אלכסונים → 3 משולשים = (5-2)
מצולע עם 6 צלעות (משושה): 3 אלכסונים → 4 משולשים = (6-2)
כלל: מצולע עם n צלעות → (n-2) משולשים

כל משולש סכומו 180°
סכום כל הזוויות במצולע = סכום הזוויות בכל המשולשים
לכן: (n-2) × 180°

מסקנה:

סכום זוויות מצולע = (n - 2) \times 180°

כאשר n = מספר הצלעות (או מספר הקודקודים - זה אותו דבר!)

דרך לזכור

חשבו על מספר המשולשים:

משולש: 1 משולש = (3-2)
מרובע: 2 משולשים = (4-2)
מחומש: 3 משולשים = (5-2)
תמיד: (n-2) משולשים!

בדיקה מהירה

מה הנוסחה לסכום זוויות מצולע עם n צלעות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה מפורטת 1: חישוב סכום זוויות (בעיה ישירה)

שאלה: מה סכום הזוויות הפנימיות במחומש (5 צלעות)?

פתרון:

שלב 1: נזהה את n n = 5 (מחומש)

שלב 2: נשתמש בנוסחה

סכום = (n - 2) \times 180°

שלב 3: נציב

סכום = (5 - 2) \times 180°

סכום = 3 \times 180° = 540°

שלב 4: אימות עם משולשים מחומש מתחלק ל-3 משולשים:

משולש 1: 180°
משולש 2: 180°
משולש 3: 180°
סה״כ: 3 × 180° = 540° ✓

תשובה: סכום הזוויות במחומש הוא 540°.

תשובה מספרית

מה סכום הזוויות הפנימיות במחומש $(5$ צלעות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מה סכום הזוויות הפנימיות במשושה $(6$ צלעות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה מפורטת 2: מצולע משוכלל - זווית אחת

שאלה: במשושה משוכלל (6 צלעות, כל הזוויות שוות), מה כל זווית פנימית?

פתרון:

שלב 1: נחשב את סכום כל הזוויות

סכום = (6 - 2) \times 180° = 4 \times 180° = 720°

שלב 2: נחלק בין הזוויות במצולע משוכלל, כל הזוויות שוות!

כמה זוויות? n = 6

כל זווית = \frac{720°}{6} = 120°

שלב 3: נוסחה כללית במצולע משוכלל:

כל זווית = \frac{( n - 2 ) \times 180°}{n}

תשובה: כל זווית במשושה משוכלל היא 120°.

דוגמה מפורטת 3: בעיה הפוכה - מציאת n

שאלה: במצולע, סכום הזוויות הפנימיות הוא 1080°. כמה צלעות יש למצולע?

פתרון:

שלב 1: נרשום את הנוסחה

(n-2) × 180° = 1080°

שלב 2: נחלק את שני האגפים ב-180°

n - 2 = \frac{1080°}{180°} = 6

שלב 3: נפתור עבור n

n = 6 + 2 = 8

שלב 4: בדיקה מצולע עם 8 צלעות (מתומן):

(8-2) × 180° = 6 × 180° = 1080° ✓

תשובה: למצולע יש 8 צלעות (מתומן).

דוגמה מפורטת 4: בעיה הפוכה - מצולע משוכלל

שאלה: במצולע משוכלל, כל זווית פנימית היא 140°. כמה צלעות יש למצולע?

פתרון:

שלב 1: נרשום את הנוסחה לזווית במצולע משוכלל

\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n} = 140°

שלב 2: נכפיל את שני האגפים ב-n

(n-2) × 180° = 140° × n

שלב 3: נפתח

180°n - 360° = 140°n

שלב 4: נעביר אגפים

180°n - 140°n = 360°

40°n = 360°

שלב 5: נפתור

n = \frac{360°}{40°} = 9

שלב 6: בדיקה מצולע משוכלל עם 9 צלעות:

\frac{( 9 - 2 ) \times 180°}{9} = \frac{7 \times 180°}{9} = \frac{1260°}{9} = 140° ✓

תשובה: למצולע יש 9 צלעות (תשעון).

מצולעים מיוחדים - טבלת ערכים

ערכים חשובים לזכור

מספר צלעות (n)	שם	סכום זוויות	זווית במצולע משוכלל
3	משולש	180°	60°
4	מרובע	360°	90°
5	מחומש	540°	108°
6	משושה	720°	120°
8	מתומן	1080°	135°
10	עשירון	1440°	144°
12	שנים-עשרון	1800°	150°

תבנית:

סכום: (n-2) × 180°
זווית אחת במשוכלל: $\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n}$

תשובה מספרית

מה סכום הזוויות הפנימיות במתומן $(8$ צלעות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מה סכום הזוויות הפנימיות במצולע עם 10 צלעות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מה סכום הזוויות הפנימיות במצולע עם 12 צלעות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חשבתי שהנוסחה היא $n \times 180^{\circ}$ במקום $(n-2) \times 180^{\circ}$

שגוי: n × 180°

נכון: (n-2) × 180°

החסר 2 קריטי - זה מספר המשולשים!

למה זה קורה?

שכחתי לחסר 2

איך מתקנים?

זכרו: מספר המשולשים הוא

(n-2)

, לא n

טעות נפוצה: בלבלתי בין מספר צלעות למספר אלכסונים

מהקודקוד יוצאים (n-3) אלכסונים

אבל מספר המשולשים הוא (n-2)

הם קשורים אבל לא שווים!

למה זה קורה?

חשבתי שמספר המשולשים = מספר האלכסונים

איך מתקנים?

מספר המשולשים תמיד

(n-2)

, לא משנה כמה אלכסונים

טעות נפוצה: טעיתי בפתרון בעיה הפוכה - לא חילקתי ב- $180^{\circ}$

בעיה הפוכה: (n-2) × 180° = 1260°

שלב 1: n-2 = 1260° ÷ 180° = 7

שלב 2: n = 7 + 2 = 9

למה זה קורה?

ניסיתי לפתור ישירות בלי לפשט

איך מתקנים?

תמיד חלקו ב-

180^{\circ}

כדי לקבל

n-2

לבד

טעות נפוצה: חשבתי שבמצולע משוכלל צריך לכפול ב-n במקום לחלק

סכום כל הזוויות: (n-2) × 180°

זווית אחת במשוכלל: $\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n}$

חלוקה, לא כפל!

למה זה קורה?

בלבלתי בין סכום לזווית אחת

איך מתקנים?

זווית אחת = סכום

\div n

, לא

\times n

טעות נפוצה: טעיתי בבעיה הפוכה במצולע משוכלל - לא הצלחתי לפתור את המשוואה

משוואה: $\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n} = 140°$

כפול ב-n: (n-2) × 180° = 140° × n

פתח: 180°n - 360° = 140°n

עבר: 40°n = 360°

פתור: n = 9

למה זה קורה?

לא הבנתי איך להעביר את ה-n לצד השני

איך מתקנים?

כפלו את שני האגפים ב-n, פתחו, העבירו אגפים

טעות נפוצה: חשבתי שסכום זוויות גדל ב- $180^{\circ}$ כשמוסיפים צלע אחת

זה נכון!

כל פעם ש-n גדל ב-1, הסכום גדל ב-180°:

n=3: 180°
n=4: 360° (+180°)
n=5: 540° (+180°)
n=6: 720° (+180°)

למה? כי (n-2) גדל ב-1, ו-(n-2) × 180° גדל ב-180°!

למה זה קורה?

זה נכון! אבל לא הבנתי למה

איך מתקנים?

כל צלע חדשה מוסיפה משולש אחד

→ +180^{\circ}

טעות נפוצה: חשבתי שזווית במצולע משוכלל תמיד קטנה מ- $180^{\circ}$

זה נכון!

\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n} = 180° - \frac{360°}{n}

כש-n גדל, $\frac{360°}{n}$ קטן → הזווית שואפת ל-180°

אבל אף פעם לא מגיעה ל-180° (זה יהיה קו ישר, לא מצולע!)

למה זה קורה?

לא חשבתי על מצולעים עם הרבה צלעות

איך מתקנים?

זווית במצולע משוכלל שואפת ל-

180^{\circ}

כש-n גדל, אבל תמיד קטנה מ-

180^{\circ}

סיכום

מה למדנו?

נוסחה לסכום זוויות: (n-2) × 180°
גזירה: מצולע מתחלק ל-(n-2) משולשים
בעיות ישירות: נתון n → חישוב הסכום
זווית במצולע משוכלל: $\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n}$
בעיות הפוכות: נתון סכום → מציאת n
בעיות הפוכות במשוכלל: נתונה זווית → מציאת n
מגמה: כל צלע מוסיפה 180° לסכום

זוויות במצולעים

זוויות במצולעים

למה זה חשוב?

מבוא

גזירת הנוסחה - למה (n-2)×180°?

דוגמה מפורטת 1: חישוב סכום זוויות (בעיה ישירה)

דוגמה מפורטת 2: מצולע משוכלל - זווית אחת

דוגמה מפורטת 3: בעיה הפוכה - מציאת n

דוגמה מפורטת 4: בעיה הפוכה - מצולע משוכלל

מצולעים מיוחדים - טבלת ערכים

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חשבתי שהנוסחה היא n×180∘n \times 180^{\circ}n×180∘ במקום (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ}(n−2)×180∘

טעות נפוצה: בלבלתי בין מספר צלעות למספר אלכסונים

טעות נפוצה: טעיתי בפתרון בעיה הפוכה - לא חילקתי ב-180∘180^{\circ}180∘

טעות נפוצה: חשבתי שבמצולע משוכלל צריך לכפול ב-n במקום לחלק

טעות נפוצה: טעיתי בבעיה הפוכה במצולע משוכלל - לא הצלחתי לפתור את המשוואה

טעות נפוצה: חשבתי שסכום זוויות גדל ב-180∘180^{\circ}180∘ כשמוסיפים צלע אחת

טעות נפוצה: חשבתי שזווית במצולע משוכלל תמיד קטנה מ-180∘180^{\circ}180∘

סיכום

טעות נפוצה: חשבתי שהנוסחה היא $n \times 180^{\circ}$ במקום $(n-2) \times 180^{\circ}$

טעות נפוצה: טעיתי בפתרון בעיה הפוכה - לא חילקתי ב- $180^{\circ}$

טעות נפוצה: חשבתי שסכום זוויות גדל ב- $180^{\circ}$ כשמוסיפים צלע אחת

טעות נפוצה: חשבתי שזווית במצולע משוכלל תמיד קטנה מ- $180^{\circ}$